Liczby całkowite

XXXVI OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> [\sqrt{9n-1}] = [\sqrt{n-1} + \sqrt{n} + \sqrt{n+1}].<br /> \]

Uwaga. $ [x] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ x $.

XXXVI OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczba całkowita podzielna przez 3 jest sumą pięciu kwadratów liczb całkowitych, to co najmniej dwa z tych kwadratów są podzielne przez 9.

XXXVII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $ p $ jest liczbą pierwszą, a liczba całkowita $ m $ spełnia nierówność $ 0 \leq m < p—1 $, to $ p $ dzieli liczbę $ \sum_{j=1}^p j^m $.

XXXVII OM - II - Zadanie 4

Liczby naturalne $ x, y, z $, których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają równanie

\[<br /> \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}<br /> \]

Dowieść, że $ x + y $ jest kwadratem liczby naturalnej.

XXXVII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że każda liczba naturalna mniejsza od $ n! $ jest sumą co najwyżej $ n $ różnych liczb naturalnych dzielących $ n! $.

XXXVIII OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną $ n $, dla której liczba $ n^2-n+11 $ jest iloczynem czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

XXXVIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $ p $ i liczby naturalne $ x, y $, dla których $ p^x—y^3 = 1 $.

XXXVIII OM - I - Zadanie 10

Niech $ n = 4^k \cdot 5^m $ ($ k $, $ m $ — liczby naturalne). Udowodnić, że każda liczba naturalna mniejsza od $ n $ jest dzielnikiem liczby $ n $ lub sumą różnych dzielników liczby $ n $.

XXXIX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ n^{2n} - n^{n+2} + n^n - 1 $ jest podzielna przez $ (n - 1 )^3 $.

Subskrybuje zawartość