Nierówności

LII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne $n \geq 2$ , że nierówność

$ (1) \qquad x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_{n}\leq\frac{n-1}{n}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}) $

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ .

LIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 3$ i dla każdego ciągu liczb dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ zachodzi co najmniej jedna z nierówności

$ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}\geq\frac{n}{2},\ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i-1}+x_{i-2}}\geq\frac{n}{2} $

(przyjmujemy $x_{n+1}=x_{1},\ x_{n+2}=x_{2}$ oraz $x_{0}=x_{n},\ x_{-1}=x_{n-1}$ ).

LIII OM - II - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},$ $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad x_{1}x_{2}\ldots x_{n}+y_{1}y_{2}\ldots y_{n}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\cdot\ldots\cdot\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}. $

LIV OM - III - Zadanie 2

Liczba $a$ jest dodatnia i mniejsza od 1. Dowieść, że dla każdego skończonego, ściśle rosnącego ciągu nieujemnych liczb całkowitych ( $k_1,\ldots,k_n$ ) zachodzi nierówność

$ \left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}. $

LIV OM - I - Zadanie 12

Dla liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ określamy

$ A = a^3 + b^3 + c^3 + d^3, \ B = bcd + cda + dab + abc. $

Udowodnić nierówność

$ (a + b + c + d)^3 < 4A + 24B. $

LIV OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba rzeczywista $a_1 > 1$ . Definiujemy ciąg $(a_n)$ wzorem

$ a_{n+1} = a_n^2 - a_{n} + 1 \ \textrm{dla}\ n \geq 1. $

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}. $

LV OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, to

$ \begin{array}{l} \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}+\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+\sqrt{2(c^{2}+a^{2})}\geq \\ \qquad \qquad \qquad \geq\sqrt{3(a+b)^{2}+3(b+c)^{2}+3(c+a)^{2}}. \end{array} $

LVI OM - III - Zadanie 3

W kwadratowej tablicy o wymiarach $2n \times 2n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, znajduje się $4n^2$ liczb rzeczywistych o sumie równej 0 (na każdym polu tablicy jedna liczba). Wartość bezwzględna każdej z tych liczb jest nie większa od 1. Dowieść, że wartość bezwzględna sumy wszystkich liczb z pewnego rzędu (poziomego lub pionowego) nie przekracza $n$ .