Planimetria

XIII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli boki $ a $, $ b $, $ c $ trójkąta spełniają nierówność

\[<br /> a < b < c<br /> \]

to dwusieczne $ d_a $, $ d_b $, $ d_c $ kątów przeciwległych spełniają nierówność

\[<br /> d_a > d_b > d_c.<br /> \]

XIII OM - I - Zadanie 12

Z punktu $ A $ okręgu $ k $ poprowadzono odcinek $ AB $ prostopadły do płaszczyzny okręgu. Znaleźć miejsce geometryczne rzutu prostokątnego punktu $ A $ na prostą przechodzącą przez punkt $ B $ i przez punkt $ M $ poruszający się po okręgu $ k $.

XIII OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt $ ABCD $, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $ M $. Udowodnić, że $ 8 $ punktów, w których prostopadle poprowadzone z punktu $ M $ do prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $ przecinają boki czworokąta, leży na okręgu.

XIII OM - I - Zadanie 8

Dany jest czworokąt skośny $ ABCD $ i płaszczyzna przecinająca proste $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ odpowiednio w punktach $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ różnych od $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że

\[<br /> \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} = 1.<br /> \]

XIII OM - I - Zadanie 7

Dane są na płaszczyźnie odcinki $ AB $ i $ CD $. Znaleźć na tejże płaszczyźnie taki punkt $ M $, żeby trójkąty $ AMB $ i $ CMD $ były podobne, a przy tym kąt $ AMB $ był równy kątowi $ CMD $.

XIII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że prosta symetryczna do środkowej $ CS $ trójkąta $ ABC $ względem dwusiecznej kąta $ C $ tego trójkąta dzieli bok $ AB $ na odcinki proporcjonalne do kwadratów boków $ AC $ i $ BC $.

XIII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że prostopadłe opuszczone ze środków kół dopisanych trójkąta na odpowiednie boki trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

XIV OM - III - Zadanie 3

Z danego trójkąta wyciąć prostokąt o największym polu.

XIV OM - II - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych przy wierzchołkach $ A $ i $ B $. Dowieść, że rzuty prostokątne punktu $ C $ na te dwusieczne leżą na jednej prostej.

XIV OM - II - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dany jest czworokąt $ ABCD $ i punkt $ M $. Zbudować równoległobok o środku $ M $ i o wierzchołkach leżących na prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $.

Subskrybuje zawartość