Stereometria

XXXII - III - Zadanie 6

W czworościanie o objętości $V$ suma kwadratów długości wszystkich krawędzi jest równa $S$ . Dowieść, że

$<br /> V \leq \frac{S\sqrt{S}}{72 \sqrt{3}}<br />$

W przestrzeni dane są dwie przecinające się proste $a$ i $b$ . Rozważamy wszystkie pary płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$ prostopadłych i takich, że $a\subset \alpha$ , $b\subset \beta$ . Dowieść, że istnieje taki okrąg, że przez każdy jego punkt przechodzi prosta $\alpha \cap \beta$ dla pewnych $\alpha, \beta$ .

XXXII - II - Zadanie 6

Pola powierzchni podstaw danego ostrosłupa trójkątnego ściętego równe są $B_1$ i $B_2$ . Ostrosłup ten można tak przeciąć płaszczyzną równoległą do podstaw, że w każdą z otrzymanych części można wpisać kulę. Udowodnić, że pole powierzchni bocznej danego ostrosłupa równe jest $(\sqrt{B_1} + \sqrt{B_2})(\sqrt[4]{B_1} + \sqrt[4]{B_2})^2$ .

XXXII - I - Zadanie 9

W przestrzeni dany jest zbiór $3n$ punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że zbiór ten można rozbić na $n$ takich zbiorów trójelementowych $\{A_i, B_i, C_i\}$ , że trójkąty $A_iB_iC_i$ są parami rozłączne.

XXXII - I - Zadanie 8

Dany jest punkt $P$ wewnątrz kuli ograniczonej sferą $S$ . Przekształcenie $f: S\to S$ jest określone jak następuje: dla punktu $X \in S$ punkt $f(X) \in S$ , $f(X) \neq X$ oraz $P\in \overline{Xf(X)}$ . Udowodnić, że obrazem dowolnego okręgu zawartego w $S$ w przekształceniu $f$ jest okrąg.

XXXII - I - Zadanie 3

Na kuli $K$ opisano stożek $S_1$ . Niech $A$ będzie środkiem okręgu styczności stożka z kulą. Przez wierzchołek stożka $S_1$ poprowadzono płaszczyznę $\Pi$ prostopadłą do osi stożka. Na kuli $K$ opisano drugi stożek $S_2$ , którego wierzchołek leży na płaszczyźnie $\Pi$ . Dowieść, że płaszczyzna okręgu styczności stożka $S_2$ z kulą $K$ przechodzi przez punkt $A$ .

XXXIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że w dowolnym czworościanie suma wszystkich kątów dwuściennych jest większa od $2\pi$ .

XXXIII OM - II - Zadanie 4

Niech $A$ będzie skończonym zbiorem punktów przestrzeni mającym tą własność, że dla dowolnych jego punktów $P, Q$ istnieje izometria przestrzeni przeprowadzająca zbiór $A$ na zbiór $A$ oraz punkt $P$ na punkt $Q$ . Udowodnić że istnieje sfera przechodząca przez wszystkie punkty zbioru $A$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 12

Niech S będzie zbiorem $n$ ( $n \geq 3$ ) punktów przestrzeni. Dla każdej płaszczyzny $\pi$ rozważamy liczbę $R(\pi)$ równą sumie odległości punktów zbioru $S$ od $\pi$ . Niech $\pi_0$ będzie taką płaszczyzną, że liczba $R(\pi_0)$ jest minimalna. Dowieść, że pewne trzy punkty zbioru $S$ należą do $\pi_0$ .