Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

VI OM - I - Zadanie 9

Przedstawić wielomian $ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $ w postaci różnicy kwadratów dwóch wielomianów niejednakowego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

VI OM - I - Zadanie 8

Dowieść, że w trapez można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi, których średnicami są boki nierównoległe trapezu, są do siebie styczne zewnętrznie.

VI OM - I - Zadanie 7

Na środkowej $ CM $ trójkąta $ ABC $ obrano punkt $ N $ i poprowadzono prostą $ AN $ przecinającą bok $ BC $ w punkcie $ Q $ oraz prostą $ BN $ przecinającą bok $ AC $ w punkcie $ P $. Dowieść, że prosta $ PQ $ jest równoległa do prostej $ AB $.

VI OM - I - Zadanie 6

Jakie warunki konieczne i dostateczne powinny spełniać liczby całkowite $ a $ i $ b $, przy czym $ b $ nie jest kwadratem liczby całkowitej, żeby istniały liczby całkowite $ x $ i $ y $ spełniające równanie

\[<br /> \sqrt{a- \sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}.<br /> \]

VI OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wzór wyrażający sumę

\[<br /> \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n}<br /> \]

w zależności od $ n $.

VI OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli istnieje kula styczna do wszystkich krawędzi czworościanu, to sumy krawędzi przeciwległych czworościanu są równe i że prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

VI OM - I - Zadanie 3

Przez środek jednego z boków nierównoległych trapezu przeprowadzić prostą, która dzieli trapez na dwie części o równych polach.

VI OM - I - Zadanie 2

Fabryka wysyła towar w paczkach po $ 3 $ kg i po $ 5 $ kg. Wykazać, że można w ten sposób wysłać każdą całkowitą ilość kilogramów większą niż $ 7 $. Czy można w tym zadaniu zastąpić dane liczby innymi liczbami?

Subskrybuje zawartość