2000-2009

LVI OM - II - Zadanie 6

Liczby $a$ , $b$ , $c$ należą do przedziału $\langle 0;1\rangle$ . Udowodnić, że

$ \frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2. $

Dany jest romb $ABCD$ , w którym $\measuredangle BAD > 60^{\circ}$ . Punkty $E$ i $F$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $AD$ , przy czym $\measuredangle ECF = \measuredangle ABD$ . Proste $CE$ i $CF$ przecinają przekątną $BD$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ . Wykazać, że

$ \frac{PQ}{EF}=\frac{AB}{BD}. $

LVI OM - II - Zadanie 4

Dany jest wielomian $W(x)=x^2+ax+b$ , o współczynnikach całkowitych, spełniający warunek:

Dla każdej liczby pierwszej $p$ istnieje taka liczba całkowita $k$ , że liczby $W(k)$ oraz $W(k + 1)$ są podzielne przez $p$ . Dowieść, że istnieje liczba całkowita $m$ , dla której

$ W (m)= W (m +1)=0. $

LVI OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni danych jest $n$ punktów ( $n\geq 2$ ) z których żadne cztery nie leżą w jednej płaszczyźnie. Niektóre z tych punktów zostały połączone odcinkami. Niech $K$ będzie liczbą poprowadzonych odcinków ( $K\geq 1$ ), a $T$ liczbą powstałych trójkątów. Udowodnić, że

$ 9T^{2}<2K^{3}. $

LVI OM - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ABCD$ punkt $M$ jest środkiem przekątnej $AC$ . Wykazać, że jeżeli

$ \measuredangle BAD= \measuredangle BMC =\measuredangle CMD $

to na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

LVI OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$ , dla których

$ n^n+1\ \textrm{oraz}\ (2n)^{2n}+1 $

są liczbami pierwszymi.

LVI OM - I - Zadanie 12

Dane są funkcje

$ f(x)=2^x$ \quad \text{oraz} \quad $g(x)= f(f(f(f(f(f(f(x))))))) $

(7-krotna iteracja funkcji $f$ ). Rozstrzygnąć, czy liczba $g(3)-g(0)$ jest podzielna przez liczbę $g(2)-g(0)$ .

LVI OM - I - Zadanie 11

Okrąg o środku $I$ jest wpisany w czworokąt wypukły $ABCD$ , przy czym punkt $I$ nie leży na prostej $AC$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ . Prosta przechodząca przez punkt $E$ oraz prostopadła do prostej $BD$ przecina proste $AI$ , $CI$ odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ . Wykazać, że $PE = EQ$ .

LVI OM - I - Zadanie 10

Spośród wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru $n$ -elementowego $X$ losujemy kolejno ze zwracaniem trzy zbiory $A$ , $B$ , $C$ . Za każdym razem wylosowanie każdego spośród $2^n$ podzbiorów zbioru $X$ jest jednakowo prawdopodobne. Wyznaczyć najbardziej prawdopodobną liczbę elementów zbioru $A\cap B\cap C$ .