2000-2009

LVI OM - III - Zadanie 3

W kwadratowej tablicy o wymiarach $2n \times 2n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, znajduje się $4n^2$ liczb rzeczywistych o sumie równej 0 (na każdym polu tablicy jedna liczba). Wartość bezwzględna każdej z tych liczb jest nie większa od 1. Dowieść, że wartość bezwzględna sumy wszystkich liczb z pewnego rzędu (poziomego lub pionowego) nie przekracza $n$ .

LVI OM - III - Zadanie 2

Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą, w tej właśnie kolejności, na okręgu $o$ . Punkt $S$ leży wewnątrz okręgu $o$ i spełnia warunki

$ \measuredangle SAD = \measuredangle SCB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle SDA = \measuredangle SBC. $

Prosta zawierająca dwusieczną kąta $ASB$ przecina okrąg $o$ w punktach $P$ i $Q$ . Dowieść, że $PS = QS$ .

LVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $(x,y,n)$ liczb całkowitych dodatnich spełniające równanie

$ (x-y)^n=xy. $

LVI OM - II - Zadanie 6

Liczby $a$ , $b$ , $c$ należą do przedziału $\langle 0;1\rangle$ . Udowodnić, że

$ \frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2. $

LVI OM - II - Zadanie 5

Dany jest romb $ABCD$ , w którym $\measuredangle BAD > 60^{\circ}$ . Punkty $E$ i $F$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $AD$ , przy czym $\measuredangle ECF = \measuredangle ABD$ . Proste $CE$ i $CF$ przecinają przekątną $BD$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ . Wykazać, że

$ \frac{PQ}{EF}=\frac{AB}{BD}. $

LVI OM - II - Zadanie 4

Dany jest wielomian $W(x)=x^2+ax+b$ , o współczynnikach całkowitych, spełniający warunek:

Dla każdej liczby pierwszej $p$ istnieje taka liczba całkowita $k$ , że liczby $W(k)$ oraz $W(k + 1)$ są podzielne przez $p$ . Dowieść, że istnieje liczba całkowita $m$ , dla której

$ W (m)= W (m +1)=0. $

LVI OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni danych jest $n$ punktów ( $n\geq 2$ ) z których żadne cztery nie leżą w jednej płaszczyźnie. Niektóre z tych punktów zostały połączone odcinkami. Niech $K$ będzie liczbą poprowadzonych odcinków ( $K\geq 1$ ), a $T$ liczbą powstałych trójkątów. Udowodnić, że