1990-1999

XLV OM - I - Zadanie 10

Liczby dodatnie $p$ i $q$ spełniają warunek $p+q=1$ . Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych $m$ i $n$ zachodzi nierówność

$ (1 - p^m)^n +(1- q^n)^m \geq 1. $

W konferencji bierze udział $2n$ osób. Każdy uczestnik konferencji ma wśród pozostałych uczestników co najmniej $n$ znajomych. Udowodnić, że wszystkich uczestników konferencji można zakwaterować w pokojach dwuosobowych tak, by każdy uczestnik mieszkał ze swoim znajomym.

XLV OM - I - Zadanie 8

Dane są takie liczby naturalne $a$ , $b$ , $c$ , że $a^3$ dzieli się przez $b$ , $b^3$ dzieli się przez $c$ , a $c^3$ dzieli się przez $a$ . Udowodnić, że liczba $(a+b+c)^{13}$ jest podzielna przez $abc$ .

XLV OM - I - Zadanie 7

Na zewnątrz czworokąta wypukłego $ABCD$ budujemy trójkąty podobne $APB$ , $BQC$ , $CRD$ , $DBA$ w ten sposób, że

$ |\measuredangle PAB| = |\measuredangle QBC| = |\measuredangle RCD| = |\measuredangle SDA|, |\measuredangle PBA| = |\measuredangle QCB| = |\measuredangle RDC| = |\measuredangle SAD|· $

Dowieść, że jeśli czworokąt $PQRB$ jest równoległobokiem, to czworokąt $ABCD$ też jest równoległobokiem.

XLV OM - I - Zadanie 6

Funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest ciągła. Wykazać, że jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej $x$ istnieje taka liczba naturalna $n$ , że $(\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n})(x) = 1$ , to $f(1)=1$ .

XLV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $x^3 + ax^2 + bx + c$ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian $x^3 + ax^2 + \frac{1}{4}(a^2 + b)x +\frac{1}{8}(ab - c)$ także ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

XLV OM - I - Zadanie 4

Dany jest okrąg o środku $O$ , punkt $A$ wewnątrz tego okręgu oraz cięciwa $PQ$ , nie będąca średnicą, przechodząca przez $A$ . Proste $p$ i $q$ są styczne do rozważanego okręgu odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ . Prosta $l$ przechodząca przez punkt $A$ i prostopadła do $OA$ przecina proste $p$ i $q$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ . Wykazać, że $|AK|=|AL|$ .