Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XLVIII OM - I - Zadanie 5

Dwusieczne kątów wewnętrznych $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta $ ABC $ przecinają przeciwległe boki odpowiednio w punktach $ D $, $ E $, $ F $, a okrąg opisany na trójkącie $ ABC $ - odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $. Dowieść, że

\[<br /> \frac{|AD|}{|DK|}+\frac{|BE|}{|EL|}+\frac{|CF|}{|FM|}\geq 9.<br /> \]

XLVIII OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że liczba naturalna $ n \geq 2 $ jest złożona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby naturalne $ a,b,x,y \geq 1 $ spełniające warunki: $ a+b=n $, $ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $.

XLVIII OM - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b \geq 1 $, $ c\geq 0 $ oraz dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ zachodzi nierówność

\[<br /> (ab + c)^n-c \leq ((b + c)^n-c)a^n.<br /> \]

XLVIII OM - I - Zadanie 2

Punkt $ P $ leży wewnątrz równoległoboku $ ABCD $, przy czym zachodzi równość $ |\measuredangle ABP| = |\measuredangle ADP| $. Wykazać, że $ |\measuredangle PAB| = |\measuredangle PCB| $.

XLVIII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br /> \left\{<br /> \begin{split}<br /> &x \cdot |x|+y \cdot |y| =1,\\<br /> &[x] + [y] =1.<br /> \end{split}<br /> \right.<br /> \]

Uwaga: $ [t] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ t $.

XLIX OM - I - Zadanie 12

Niech $ g(k) $ będzie największym dzielnikiem pierwszym liczby całkowitej $ k $, gdy $ |k|\geq 2 $, oraz przyjmijmy $ g(-1) = g(0) =g(1) = 1 $. Rozstrzygnąć, czy istnieje wielomian $ W $ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, dla którego zbiór liczb postaci $ g(W(x)) $ ($ x $ - całkowite) jest skończony.

XLIX OM - I - Zadanie 11

W turnieju tenisowym uczestniczyło $ n $ graczy. Każdy rozegrał z każdym innym jeden mecz; nie było remisów. Udowodnić, że istnieje taki gracz $ A $, który każdego innego gracza $ B $ pokonał bezpośrednio lub pośrednio, tzn. gracz $ A $ wygrał z $ B $ lub gracz $ A $ pokonał pewnego zawodnika $ C $, który wygrał z tym graczem $ B $.

XLIX OM - I - Zadanie 10

Środkowe $ AD $, $ BE $, $ CF $ trójkąta $ ABC $ przecinają się w punkcie $ G $. Na czworokątach $ AFGE $ i $ BDGF $ można opisać okręgi. Wykazać, że trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

XLIX OM - I - Zadanie 7

Rozstrzygnąć, czy istnieje wielościan wypukły mający $ k $ krawędzi oraz płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z jego wierzchołków i przecinająca $ r $ krawędzi, przy czym $ 3r > 2k $.

Subskrybuje zawartość