Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XLIX OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby całkowite dodatnie $ m $ oraz $ n $. Niech $ A=\{1,2,3,\ldots,n\} $. Wyznaczyć liczbę funkcji $ f:A \to A $ przyjmujących dokładnie $ m $ wartości oraz spełniających warunek:

\[<br /> \textrm{jeżeli } k,l \in A,\ k \leq l, \textrm{ to } f(f(k)) = f(k) \leq f(l).<br /> \]

XLIX OM - I - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $, w którym $ |AB| > |AC| $, punkt $ D $ jest środkiem boku $ BC $, punkt $ E $ leży na boku $ AC $. Punkty $ P $ i $ Q $ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów $ B $ i $ E $ na prostą $ AD $. Dowieść, że $ |BE| = |AE| + |AC| $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ |AD| = |PQ| $.

XLIX OM - I - Zadanie 4

Dana jest liczba dodatnia $ a $. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ c $ mające następującą własność: dla każdej pary liczb dodatnich $ x $, $ y $ spełniona jest nierówność $ (c-1)x^{a+1} \leq (cy - x)y^a $ .

XLIX OM - I - Zadanie 3

Ciągi $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $ są określone przez warunki:

\[<br /> a_1=4, \quad a_{n+1} = a_n(a_n-1), \quad 2^{b_n}=a_n, \quad 2^{n-c_n}=b_n<br /> \]

dla $ n = 1,2,3,\ldots $. Wykazać, że ciąg $ (c_n) $ jest ograniczony.

XLIX OM - I - Zadanie 2

Proste zawierające wysokości trójkąta $ ABC $, wpisanego w okrąg o środku $ O $, przecinają się w punkcie $ H $, przy czym $ |AO| =|AH| $. Obliczyć miarę kąta $ CAB $.

XLVIII OM - III - Zadanie 6

Na okręgu o promieniu $ 1 $ leży $ n $ różnych punktów ($ n \geq 2 $). Niech $ q $ będzie liczbą odcinków o końcach w tych punktach i długości większej niż $ \sqrt{2} $. Dowieść, że $ 3q \leq n^2 $.

XLVIII OM - III - Zadanie 5

Dany jest pięciokąt wypukły $ ABCDE $, w którym $ DC = DE $ oraz $ \measuredangle DCB =\measuredangle DEA = 90^\circ $. Niech $ F $ będzie punktem boku $ AB $ wyznaczonym przez warunek $ AF: BF = AE: BC $. Udowodnić, że $ \measuredangle FCE = \measuredangle ADE $ oraz $ \measuredangle FEC= \measuredangle BDC $.

XLVIII OM - III - Zadanie 4

Ciąg $ a_1, a_2, a_3,\ldots $ jest określony wzorami

\[<br /> a_1 = 0, \quad a_n = a_{[n/2]} + (-1)^{n(n+1)/2}\quad \textrm{dla}\ n > 1.<br /> \]

Dla każdej liczby całkowitej $ k \geq 0 $ wyznaczyć liczbę numerów $ n $ spełniających warunki

\[<br /> 2^k \leq n < 2^{k+1}, \qquad a_n = 0.<br /> \]

Uwaga: $ [n/2] $ jest największą liczbą całkowitą nie przekraczającą $ n/2 $.

Subskrybuje zawartość