Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XLVIII OM - III - Zadanie 3

Środkowe ścian bocznych $ ABD $, $ ACD $, $ BCD $ ostrosłupa $ ABCD $ poprowadzone z wierzchołka $ D $ tworzą równe kąty z krawędziami, do których zostały poprowadzone. Wykazać, że pole każdej ściany bocznej jest mniejsze od sumy pól pozostałych dwóch ścian bocznych.

XLVIII OM - III - Zadanie 2

Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $ x $, $ y $, $ z $ spełniające układ równań

\[<br /> \left\{<br /> \begin{array}{c}<br /> 3(x^2+y^2+z^2)=1\\<br /> x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = xyz(x + y + z)^3.<br /> \end{array}\right.<br /> \]

XLVIII OM - III - Zadanie 1

Liczby całkowite dodatnie $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $, $ x_4 $, $ x_5 $, $ x_6 $, $ x_7 $ spełniają warunki:

\[<br /> x_6 = 144\ \textrm{oraz}\ x_{n+3} = x_{n+2}(x_{n+1} + x_n) \ \textrm{dla} \ n = 1, 2, 3,4.<br /> \]

Wyznaczyć $ x_7 $.

XLVIII OM - II - Zadanie 6

W sześcianie o krawędzi długości $ 1 $ leży osiem punktów. Wykazać, że pewne dwa z nich są końcami odcinka o długości nie większej niż $ 1 $.

XLVIII OM - II - Zadanie 5

Rzucamy $ k $ kostkami sześciennymi białymi i $ m $ czarnymi. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że reszta z dzielenia przez $ 7 $ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach białych jest równa reszcie z dzielenia przez $ 7 $ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach czarnych.

XLVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich mających następującą własność: iloczyn dowolnych dwóch z nich daje resztę $ 1 $ przy dzieleniu przez trzecią liczbę.

XLVIII OM - II - Zadanie 3

Dany jest zbiór $ n $ punktów ($ n \geq 2 $), z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Kolorujemy wszystkie odcinki o końcach w tym zbiorze tak, by każde dwa odcinki o wspólnym końcu miały różne kolory. Wyznaczyć najmniejszą liczbę kolorów, dla której istnieje takie pokolorowanie.

XLVIII OM - II - Zadanie 2

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $ i spełnia warunki:

\[<br /> \measuredangle PBA = \measuredangle PCA = \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB).<br /> \]

Udowodnić, że

\[<br /> \frac{AC}{AB+PC}=\frac{AB}{AC+PB}.<br /> \]

XLVIII OM - II - Zadanie 1

Dla każdej liczby rzeczywistej $ a $ wyznaczyć liczbę uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych $ (x, y, z) $ spełniających układ równań

\[<br /> \left\{\begin{array}{l}<br /> x + y^2 + z^2 = a\\<br /> x^2 + y + z^2 = a\\<br /> x^2 + y^2 + z = a<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]
Subskrybuje zawartość