Olimpiada Matematyczna

L OM - I - Zadanie 9

Punkty $D$ , $E$ , $F$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ . Okręgi wpisane w trójkąty $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt $DEF$ . Udowodnić, że proste $AD$ , $BE$ , $CF$ przecinają się w jednym punkcie.

L OM - I - Zadanie 8

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ oraz zbiór $n$ -elementowy $S$ . Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną $k$ , dla której istnieją podzbiory $A_1, A_2,\ldots, A_k$ zbioru $S$ o następującej własności:

dla dowolnych dwóch różnych elementów $a, b \in S$ , istnieje taka liczba $j \in \{1, 2,\ldots, k\}$ , że zbiór $A_j \cap \{a, b\}$ jest jednoelementowy.

L OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Wyznaczyć wszystkie wielomiany $P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$ mające dokładnie $n$ pierwiastków nie większych niż $-1$ oraz spełniające warunek

$<br /> a_0^2 + a_1a_n = a_n^2 + a_0a_{n-1} .<br />$

Uwaga: Pierwiastki są liczone z uwzględnieniem krotności: jeśli liczba $x_0$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym wielomianu $P(x)$ (tzn. jeśli wielomian $P(x)$ jest podzielny przez wielomian $(x - x_0)^k$ , ale nie przez $(x - x_0)^{k+1}$ ), wówczas liczba $x_0$ jest traktowana jak $k$ pierwiastków wielomianu $P(x)$ .

L OM - I - Zadanie 6

Przekątne $AC$ i $BD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $P$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Prosta $MP$ przecina bok $CD$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że stosunek pól trójkątów $BCP$ i $ADP$ jest równy stosunkowi długości odcinków $CQ$ i $DQ$ .