Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

L OM - II etap

II etap L Olimpiady Matematycznej

ZałącznikWielkość
L OM II etap - Zadania59.62 KB
L OM II etap - Rozwiązania76.06 KB

XLIX OM

XLIX Olimpiada Matematyczna

Opracowanie rozwiązań: Marcin E. Kuczma

L OM

L Olimpiada Matematyczna

Opracowanie rozwiązań: Marcin E. Kuczma

LI OM - I - Zadanie 12

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ punkty $ D $, $ E $, $ F $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $. Okręgi opisane na trójkątach $ AEF $, $ BFD $, $ CDE $ przecinają się w punkcie $ P $. Udowodnić, że jeżeli

\[<br /> \frac{PD}{PE} = \frac{BD}{AE},\ \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{BF},\ \frac{PF}{PD} = \frac{AF}{CD},<br /> \]

to $ AD $, $ BE $, $ CF $ są wysokościami trójkąta $ ABC $.

LI OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba całkowita dodatnia $ n $ oraz zbiór $ M $, złożony z $ n^2 + 1 $ różnych liczb całkowitych dodatnich i mający następującą własność: wśród $ n+1 $ liczb dowolnie wybranych ze zbioru $ M $ znajduje się para liczb, z których jedna dzieli się przez drugą. Udowodnić, że w zbiorze $ M $ istnieją różne liczby $ a_1,a_2,\ldots,a_{n+1} $ spełniające warunek: dla $ i = 1,2,\ldots,n $ liczba $ a_i $ dzieli się przez $ a_{i+1} $.

Subskrybuje zawartość