Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

VII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli

$ (1) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c} $

oraz $n$ jest dowolną liczbą naturalną nieparzystą, to

$ (2) \qquad \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n} $

VII OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{l} x^2y^2 + x^2z^2 = axyz\\ y^2z^2 + y^2x^2 = bxyz\\ z^2x^2 + z^2y^2 = cxyz. \end{array} $

VII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ABCD$ odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe przecinają się w jednym punkcie, to

$ (1) \qquad AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC $

i że zachodzi również twierdzenie odwrotne.

VII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że liczby $A$ , $B$ , $C$ określone wzorami

$ A = \tg \beta \tg \gamma + 5,\ B = \tg \gamma \tg \alpha + 5,\ C = \tg \alpha \tg \beta + 5, $

gdzie $\alpha>0$ , $\beta > 0$ , $\gamma > 0$ i $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ$ , spełniają nierówność

$ (1) \qquad \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} < 4 \sqrt{3}. $

VII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że równanie $2x^2 - 215y^2 = 1$ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Jednorodna pozioma płyta o ciężarze $Q$ kG mająca kształt koła jest podparta w punktach $A$ , $B$ , $C$ leżących na obwodzie płyty, przy czym $AC = BC$ i $ACB = 2\alpha$ . Jaki ciężar $x$ kG należy umieścić na płycie w drugim końcu $D$ średnicy poprowadzonej z punktu $C$ , aby nacisk płyty na podporę w $C$ G był równy zeru?

VII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta nieprostokątnego $ABC$ , to okręgi opisane na trójkątach $AHB$ , $BHC$ , $CHA$ i $ABC$ są równe.

VII OM - II - Zadanie 1

Dla jakiej wartości $m$ wielomian $x^3 + y^3 + z^3 + mxyz$ jest podzielny przez $x + y + z$ ?

VII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że: a) suma odległości dowolnego punktu $M$ trójkąta równobocznego od trzech boków trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od położenia punktu $M$ w trójkącie; b) suma odległości dowolnego punktu czworościanu foremnego od czterech ścian czworościanu jest stała.

VII OM - I - Zadanie 11

W trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ poprowadzono odcinki $m$ , $n$ , $p$ styczne do koła wpisanego w trójkąt, mające końce na bokach trójkąta i równoległe odpowiednio do boków $a$ , $b$ , $c$ . Wykazać, że

$ \frac{m}{a} + \frac{n}{b} + \frac{p}{c} = 1. $

Olimpiady Matematyczne