Liczby całkowite

XXXIX OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $ n $, dla których $ [n\sqrt{2}] $ jest potęgą liczby 2.
Uwaga: $ [x] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ x $.

XL OM - II - Zadanie 4

Dane są liczby całkowite $ a_1, a_2, \ldots , a_{11} $ . Udowodnić, że istnieje taki niezerowy ciąg $ x_1, x_2, \ldots, x_{11} $ o wyrazach ze zbioru $ \{-1,0,1\} $, że liczba $ x_1a_1 + \ldots x_{11}a_{11} $ jest podzielna przez 1989.

XL OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej $ k\geq l $ istnieje taka liczba rzeczywista $ x $, że przy każdym całkowitym $ m \geq 1 $ liczba $ [x^m] + 1 $ dzieli się przez $ k $.

XL OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ x $,$ y $,$ z $ spełniające równanie

\[<br /> 1 = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2}<br /> \]

XL OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że jeśli liczby $ k $, $ n $ ($ k < n $) są względnie pierwsze, to liczba $ \binom{n-1}{k-1} $ jest podzielna przez $ k $.

XLI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ większej od 2 liczba

\[<br /> \sum_{k=0}^{[n/3]} \binom{n}{3k}<br /> \]

jest podzielna przez 3.

XLI OM - II - Zadanie 5

Danych jest $ n $ liczb naturalnych ($ n\geq 2 $), których suma równa jest ich iloczynowi. Wykazać, że ta wspólna wartość nie przekracza $ 2n $.

XLI OM - II - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $ x $, $ y $ spełniające równanie

\[<br /> (xy-l)^2 = (x + l)^2 + (y + l)^2.<br /> \]

XLI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $ n $, dla których każda z liczb $ n-1 $, $ n $, $ n+1 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

XLII OM - III - Zadanie 3

Niech $ N $ będzie dowolną liczbą postaci

\[<br /> N= \sum_{k=1}^{60} \varepsilon_k\cdot k^{k^k},<br /> \]

gdzie każdy ze współczynników $ \varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_{60} $ równa się $ 1 $ lub $ -1 $. Udowodnić, że $ N $ nie jest piątą potęgą żadnej liczby naturalnej.

Uwaga: $ k^{k^k} = k^{(k^k)} $.

Subskrybuje zawartość