Nierówności

LVII OM - II - Zadanie 1

Liczby całkowite dodatnie $ a, b, c, x, y, z $ spełniają równości

\[<br /> a^2 + b^2 = c^2, \quad x^2+y^2 = z^2<br /> \]

oraz nierówności $ |x-a|\leq 1 $, $ |y-b|\leq 1 $.

Wykazać, że zbiory $ \{a,b\} $ oraz $ \{x,y\} $ są równe.

LVII OM - I - Zadanie 10

Liczby rzeczywiste dodatnie $ a, b, c $ spełniają warunek

\[<br /> ab+ bc +ca =3.<br /> \]

Dowieść, że

\[<br /> a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \geqslant 9.<br /> \]

III MEMO - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $ x $, $ y $, $ z $, spełniające zależność $ x^2+y^2+z^2+9 = 4(x+y+z) $. Dowieść, że

\[<br /> (1) \qquad<br /> x^4+y^4+z^4+16(x^2+y^2+z^2)\geq8(x^3+y^3+z^3)+27<br /> \]

oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

XLVIII MOM - Zadanie 1

Dane są liczby rzeczywiste $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_n $. Dla każdego $ i $ ($ 1\le i\le n $) określamy

\[<br /> d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\}<br /> \]

oraz

\[<br /> d=\max\{d_i:1\le i\le n\}.<br /> \]

  1. Dowieść, że dla każdych liczb rzeczywistych $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $ spełniona jest nierówność

    \[<br /> \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge{d\over 2}.\leqno(*)<br /> \]

  2. Wykazać, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $, dla których nierówność $ (*) $ staje się równością.

XVIII ZMPB - Zadanie 17

Niech $ x $, $ y $, $ z $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że liczba

\[<br /> {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x}<br /> \]

jest całkowita. Niech $ d $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ x $, $ y $ oraz $ z $. Udowodnić, że

\[<br /> d\le\sqrt[3]{xy+yz+zx}.<br /> \]

XVIII ZMPB - Zadanie 4

Niech $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_n $ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, i niech $ S=a_1+a_2+\ldots+a_n $. Udowodnić, że

\[<br /> \begin{split}<br /> (2S+n)(2S&+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge \\<br /> &\ge 9\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2.<br /> \end{split}<br /> \]
Subskrybuje zawartość