Planimetria

XIV OM - I - Zadanie 8

Dane są dwa wielokąty podobne, ale nierówne; boki odpowiednie tych wielokątów leżą na prostych równoległych, których odległość jest dla wszystkich par boków ta sama. Czy muszą to być wielokąty foremne o wspólnym środku?

XIV OM - I - Zadanie 7

Dany trójkąt $ ABC $ podzielić prostą równoległą do danej prostej $ p $ na dwie części o równych polach.

XIV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli wierzchołki $ A $ i $ B $ trójkąta $ ABC $ są stałe, a wierzchołek $ C $ tak się porusza, że kąt $ ABC $ nie zmienia swej wielkości, to odcinek łączący spodki $ H $ i $ K $ wysokości trójkąta poprowadzonych z wierzchołków $ A $ i $ B $ ma stałą długość.

XV OM - III - Zadanie 5

Dany jest kąt ostry i okrąg położony wewnątrz tego kąta. Wyznaczyć na danym okręgu taki punkt $ M $, żeby suma odległości punktu $ M $ od ramion kąta była najmniejsza.

XV OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że spośród pięciu dowolnych punktów płaszczyzny można wybrać takie trzy punkty, które nie są wierzchołkami trójkąta ostrokątnego.

XV OM - II - Zadanie 2

Okrąg podzielono na cztery, nie zachodzące na siebie, luki $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $. Dowieść, że odcinek, który łączy środki łuków $ AB $ i $ CD $ jest prostopadły do odcinka łączącego środki łuków $ BC $ i $ DA $.

XV OM - I - Zadanie 11

W trójkącie $ ABC $ kąt $ A $ wynosi $ 20^\circ $, $ AB = AC $. Na bokach $ AB $ i $ AC $ obrano takie punkty $ D $ i $ E $, że $ \measuredangle DCB = 60^\circ $ a $ \measuredangle EBC = 50^\circ $. Obliczyć kąt $ EDC $.

XV OM - I - Zadanie 7

Dany jest okrąg i wewnątrz niego punkty $ A $ i $ B $. Znaleźć na tym okręgu taki punkt $ P $, żeby kąt $ APB $ był oparty na cięciwie $ MN $ równej $ AB $. Czy zadanie posiada rozwiązanie, jeżeli dane punkty, lub tylko jeden z nich, leżą na zewnątrz okręgu?

XV OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie leży 5 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Dowieść, że wśród nich są cztery punkty będące wierzchołkami czworokąta wypukłego.

XV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że punkty symetryczne do punktu przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $ względem prostych $ AB, BC, CA $ leżą na okręgu opisanym na trójkącie $ ABC $.

Subskrybuje zawartość