Stereometria

XXXIV OM - I - Zadanie 12

Na czworościanie $ ABCD $ opisujemy sferę. $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ są płaszczyznami stycznymi do tej sfery odpowiednio w wierzchołkach $ A, B, C, D $, przy czym $ \alpha \cap \beta = p $, $ \gamma \cap \delta = q $ i $ p \cap CD \neq \emptyset $. Udowodnić, że proste $ q $ i $ AB $ leżą w jednej płaszczyźnie.

XXXIV OM - I - Zadanie 8

Rozstrzygnąć, czy w kuli o promieniu 1 zmieści się 20 czworościanów foremnych o krawędzi 1 mających wnętrza parami rozłączne.

XXXV OM - III - Zadanie 3

Dany jest ośmiościan foremny $ W $ o środku $ O $. W płaszczyźnie $ P $ przechodzącej przez punkt $ O $ wybrano koła $ K(O, r_1) $ i $ K (O, r_2) $ o środku $ O $ i promieniach $ r_1 $ i $ r_2 $, odpowiednio. Wykazać, że jeżeli

\[<br /> K(O, r_1) \subset P\cap W \subset K(O, r_2),<br /> \]

to

\[<br /> \frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.<br /> \]

XXXV OM - I - Zadanie 12

W kącie trójściennym $ W $ zawarta jest półprosta $ L $ przechodząca przez jego wierzchołek. Dowieść, że suma kątów utworzonych przez $ L $ z krawędziami $ W $ nie przekracza sumy kątów płaskich $ W $.

XXXVI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w wielościanie wypukłym mającym $ k $ ścian istnieje więcej niż $ k/2 $ ścian, z których żadne dwie nie mają wspólnej krawędzi, to w wielościan ten nie można wpisać kuli.

XXXVI OM - II - Zadanie 6

W przestrzeni dane są różne punkty $ A, B, C_0, C_1, C_2 $, przy czym $ |AC_i| = 2 |BC_i| $ dla $ i = 0,1,2 $ oraz $ |C_1C_2|=\frac{4}{3}|AB| $. Dowieść, że kąt $ C_1C_0C_2 $, jest prosty i punkty $ A, B, C_1, C_2 $ leżą na jednej płaszczyźnie.

XXXVI OM - I - Zadanie 11

Podać przykład wielościanu wypukłego mającego 1985 ścian, wśród których są takie 993 ściany, że żadne dwie z nich nie mają wspólnej krawędzi.

XXXVII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć maksimum objętości czworościanów mających trzy ściany o polu 1.

XXXVII OM - II - Zadanie 3

Niech S będzie sferą opisaną na czworościanie foremnym o krawędzi długości większej od 1. Sferę $ S $ przedstawiono w postaci sumy czterech zbiorów. Udowodnić, że do pewnego z tych zbiorów należą takie punkty $ P $, $ Q $, że długość odcinka $ PQ $ przekracza 1.

XXXVII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że jeżeli prosta łącząca środki dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu przechodzi przez środek kuli wpisanej w ten czworościan, to przechodzi również przez środek kuli opisanej na tym czworościanie.

Subskrybuje zawartość