2000-2009

LVI OM - I - Zadanie 8

Na okręgu jest umieszczonych $ n $ lampek; każda może być włączona albo wyłączona. Wykonujemy serię ruchów; w każdym ruchu wybieramy $ k $ kolejnych lampek i zmieniamy ich stan: wyłączone włączamy, a włączone wyłączamy (liczba $ k $ nie zmienia się w trakcie tego po­stępowania). Na początku wszystkie lampki są wyłączone. Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ k \leq n $, dla których jest możliwe uzyskanie stanu z dokładnie jedną lampką włączoną.

LVI OM - I - Zadanie 7

Trzy sfery, parami styczne zewnętrznie, są styczne do pewnej płasz­czyzny w punktach $ A $, $ B $, $ C $. Znając długości odcinków $ BC = a $, $ CA = b $, $ AB = c $, obliczyć promienie tych sfer.

LVI OM - I - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych $ a_1,a_2, a_3,\ldots $ spełniający równanie

\[<br /> \frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}} \textrm{ dla } n=1, 2, 3, \ldots.<br /> \]

LVI OM - I - Zadanie 5

Czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w okrąg, a okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ BCD $ mają równe promienie. Rozstrzygnąć, czy z tych założeń wynika, że także okręgi wpisane w trójkąty $ CDA $ i $ DAB $ mają równe promienie.

LVI OM - I - Zadanie 4

Dana jest dodatnia liczba całkowita $ n $ oraz dodatnie liczby rzeczywiste $ a $, $ b $. Wyznaczyć największą możliwą wartość sumy

\[<br /> x_1y_1 +x_2y_2 +\ldots+x_ny_n,<br /> \]

gdy $ x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n},\ y_{1},\ y_{2},\ \ldots,\ y_{n} $ są liczbami z przedziału $ \langle 0;1\rangle $, spełniającymi warunki

\[<br /> (1)\qquad x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\leq a,\qquad y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}\leq b.<br /> \]

LVI OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n>1 $, dla których wartość sumy $ 2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2} $ jest potęgą liczby pierwszej o wykładniku naturalnym.

LVII OM - III - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $ a $, $ b $, dla których istnieje taki wielomian $ P(x) $ o współczynnikach całkowitych, że iloczyn $ (x^2 + ax + b)\cdot P(x) $ jest wielomianem postaci

\[<br /> x^n +c_{n-1}x + \dots + c_1x + c_0,<br /> \]

gdzie każda z liczb $ c_0,c_1,\dots ,c_{n-1} $ jest równa 1 lub -1.

LVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest czworościan $ ABCD $, w którym $ AB = CD $. Sfera wpisana w ten czworościan jest styczna do ścian $ ABC $ i $ ABD $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Dowieść, że jeżeli punkty $ K $ i $ L $ są środkami ciężkości ścian $ ABC $ i $ ABD $, to czworościan $ ABCD $ jest foremny.

LVII OM - III - Zadanie 4

Na trójce liczb wykonujemy następującą operację. Wybieramy dwie spośród tych liczb i zastępujemy je ich sumą oraz ich iloczynem, pozostała liczba nie ulega zmianie. Rozstrzygnąć, czy rozpoczynając od trójki (3,4,5) i wykonując tę operację możemy ponownie uzyskać trójkę liczb będących długościami boków trójkąta prostokątnego.

Subskrybuje zawartość