2000-2009

LVI OM - I - Zadanie 11

Okrąg o środku $ I $ jest wpisany w czworokąt wypukły $ ABCD $, przy czym punkt $ I $ nie leży na prostej $ AC $. Przekątne $ AC $ i $ BD $ przecinają się w punkcie $ E $. Prosta przechodząca przez punkt $ E $ oraz prostopadła do prostej $ BD $ przecina proste $ AI $, $ CI $ odpowiednio w punktach $ P $, $ Q $. Wykazać, że $ PE = EQ $.

LVI OM - I - Zadanie 10

Spośród wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru $ n $-elementowego $ X $ losujemy kolejno ze zwracaniem trzy zbiory $ A $, $ B $, $ C $. Za każdym razem wylosowanie każdego spośród $ 2^n $ podzbiorów zbioru $ X $ jest jednakowo prawdopodobne. Wyznaczyć najbardziej prawdopodobną liczbę elementów zbioru $ A\cap B\cap C $.

LVI OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ a $, dla których ciąg $ (x_n) $ określony wzorami

\[<br /> x_{0}=\sqrt{3},\ x_{n+1}= \frac{1+ax_{n}}{a-x_{n}}\ \textrm{dla}\ n=0,1,2,\ \ldots<br /> \]

spełnia warunek $ x_{n+8} = x_n $ dla $ n =0, 1, 2, \ldots $.

LVI OM - I - Zadanie 8

Na okręgu jest umieszczonych $ n $ lampek; każda może być włączona albo wyłączona. Wykonujemy serię ruchów; w każdym ruchu wybieramy $ k $ kolejnych lampek i zmieniamy ich stan: wyłączone włączamy, a włączone wyłączamy (liczba $ k $ nie zmienia się w trakcie tego po­stępowania). Na początku wszystkie lampki są wyłączone. Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ k \leq n $, dla których jest możliwe uzyskanie stanu z dokładnie jedną lampką włączoną.

LVI OM - I - Zadanie 7

Trzy sfery, parami styczne zewnętrznie, są styczne do pewnej płasz­czyzny w punktach $ A $, $ B $, $ C $. Znając długości odcinków $ BC = a $, $ CA = b $, $ AB = c $, obliczyć promienie tych sfer.

LVI OM - I - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych $ a_1,a_2, a_3,\ldots $ spełniający równanie

\[<br /> \frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}} \textrm{ dla } n=1, 2, 3, \ldots.<br /> \]

LVI OM - I - Zadanie 5

Czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w okrąg, a okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ BCD $ mają równe promienie. Rozstrzygnąć, czy z tych założeń wynika, że także okręgi wpisane w trójkąty $ CDA $ i $ DAB $ mają równe promienie.

LVI OM - I - Zadanie 4

Dana jest dodatnia liczba całkowita $ n $ oraz dodatnie liczby rzeczywiste $ a $, $ b $. Wyznaczyć największą możliwą wartość sumy

\[<br /> x_1y_1 +x_2y_2 +\ldots+x_ny_n,<br /> \]

gdy $ x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n},\ y_{1},\ y_{2},\ \ldots,\ y_{n} $ są liczbami z przedziału $ \langle 0;1\rangle $, spełniającymi warunki

\[<br /> (1)\qquad x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\leq a,\qquad y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}\leq b.<br /> \]

LVI OM - I - Zadanie 3

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ punkt $ D $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C $ na prostą $ AB $. Punkt $ E $ jest rzutem prostokątnym punk-tu $ D $ na prostą $ BC $. Punkt $ F $ leży na odcinku $ DE $, przy czym

\[<br /> \frac{EF}{FD}= \frac{AD}{DB}.<br /> \]

Wykazać, że proste $ CF $ i $ AE $ są prostopadłe.

LVI OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n>1 $, dla których wartość sumy $ 2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2} $ jest potęgą liczby pierwszej o wykładniku naturalnym.

Subskrybuje zawartość