Olimpiada Matematyczna

LI OM - I - Zadanie 10

W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ . Niech $\omega$ będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt $O$ , zaś $A'$ , $B'$ , $C'$ - rzutami punktów $A$ , $B$ , $C$ odpowiednio na płaszczyznę $\omega$ . Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia

$ (1) \quad (OA')^2 + (OB')^2 + (OC')^2 $

dla wszystkich płaszczyzn $\omega$ .

LI OM - I - Zadanie 9

Dane są takie liczby całkowite dodatnie $m$ i $n$ , że $mn | m^2 + n^2 + m$ . Wykazać, że $m$ jest kwadratem liczby całkowitej.

LI OM - I - Zadanie 8

Liczby $c(n,k)$ są określone dla liczb całkowitych nieujemnych $n\geq k$ w ten sposób, że zachodzą równości:

$ c(n,0) = c(n,n) = 1\ \textrm{dla każdej liczby}\ n \geq 0, $

$ c(n+1,k) = 2^kc(n,k) + c(n,k-1)\ \textrm{dla}\ n\geq k \geq 1. $

Dowieść, że $c(n,k) = c(n,n-k)$ dla $n\geq k \geq 0$ .

LI OM - I - Zadanie 7

Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ i dowolnej liczby $t\in(\frac{1}{2},1)$ istnieją takie liczby $a,b \in (1999,2000)$ , że

$ \frac{1}{2}a^{n}+\frac{1}{2}b^{n}<(ta+(1-t)b)^{n}. $

LI OM - I - Zadanie 6

Punkt $X$ leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta $ABC$ , w którym kąt $C$ jest prosty. Punkty $P$ , $Q$ i $R$ są odpowiednio rzutami punktu $X$ na boki $BC$ , $CA$ i $AB$ . Udowodnić, ze równość

$ AR \cdot RB = BP \cdot PC + AQ \cdot QC $

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $X$ leży na boku $AB$ .

LI OM - I - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie pary $(a,b)$ liczb naturalnych, dla których liczby $a^3 + 6ab + 1$ i $b^3 + 6ab + 1$ są sześcianami liczb naturalnych.

LI OM - I - Zadanie 4

Każdy punkt okręgu jest pomalowany jednym z trzech kolorów. Dowieść, że pewne trzy punkty jednego koloru są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.

LI OM - I - Zadanie 3

Suma liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ równa jest $1$ . Udowodnić, że

$ a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc} \leq 1 . $

LI OM - I - Zadanie 2

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ spełniony jest warunek

$ \measuredangle ACB=2 \measuredangle ABC. $

Punkt $D$ leży na boku $BC$ , przy czym $\measuredangle BAD =\frac{1}{2} \measuredangle ABC$ . Dowieść, że

$ (1)\qquad\frac{1}{BD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}. $

LI OM - I - Zadanie 1

Dana jest liczba naturalna $n \geq 3$ . Udowodnić, ze suma sześcianów wszystkich liczb naturalnych mniejszych od $n$ , względnie pierwszych z $n$ , dzieli się przez $n$ .

Olimpiady Matematyczne