Olimpiada Matematyczna

LII OM - I - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, czy w sześciennym pudełku o krawędzi 4 można umieścić 65 kul o średnicy 1.

LII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne $n \geq 2$ , że nierówność

$ (1) \qquad x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_{n}\leq\frac{n-1}{n}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}) $

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ .

Punkty $D$ i $E$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $AC$ trójkąta $ABC$ . Odcinki $AD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ . Punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $AC$ , przy czym czworokąt $CLPK$ jest równoległobokiem. Dowieść, że

$ \frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}. $

LII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ x^{2000} + 2000^{1999} = x^{1999} + 2000^{2000}. $

LIII OM - III - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $k$ . Określamy ciąg $(a_n)$ wzorami

$ a_{1}=k+1,\ a_{n+1}=a_{n}^{2}-ka_{n}+k\ \textrm{dla}\ n\geq 1.$

Wykazać, że jeżeli $m \ne n$ , to liczby $a_m$ i $a_n$ są względnie pierwsze.

LIII OM - III - Zadanie 5

W przestrzeni dany jest trójkąt $ABC$ oraz sfera $s$ rozłączna z płaszczyzną $ABC$ . Przez każdy z punktów $A$ , $B$ , $C$ poprowadzono prostą styczną do tej sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio $K$ , $L$ , $M$ . Punkt $P$ leży na sferze $s$ i spełnia warunki

$ \frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}. $

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie $ABCP$ jest styczna do sfery $s$ .

LIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 3$ i dla każdego ciągu liczb dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ zachodzi co najmniej jedna z nierówności

$ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}\geq\frac{n}{2},\ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i-1}+x_{i-2}}\geq\frac{n}{2} $

(przyjmujemy $x_{n+1}=x_{1},\ x_{n+2}=x_{2}$ oraz $x_{0}=x_{n},\ x_{-1}=x_{n-1}$ ).

LIII OM - III - Zadanie 3

Na tablicy są napisane trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby $k$ , $m$ i zastępujemy je liczbami $k + m$ i $|k - m|$ , a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych, kontynuując to postępowanie, można otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

LIII OM - III - Zadanie 2

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty $ACPQ$ i $BKLC$ o równych polach. Udowodnić, że środek odcinka $PL$ , punkt $C$ oraz środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ leżą na jednej prostej.