Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

LIII OM - II - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}, $ $ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} $ zachodzi nierówność

\[<br /> (1) \qquad x_{1}x_{2}\ldots x_{n}+y_{1}y_{2}\ldots y_{n}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\cdot\ldots\cdot\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}.<br /> \]

LIII OM - II - Zadanie 5

Trójkąt $ ABC $, w którym $ \measuredangle A = 90^\circ $, jest podstawą ostrosłupa $ ABCD $. Ponadto zachodzą równości

\[<br /> AD = BD \ \textrm{oraz}\ AB = CD.<br /> \]

Udowodnić, że $ \measuredangle ACD \geq 30^\circ $ .

LIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $ p \leq q \leq r $, że liczby

\[<br /> pq+r,\ pq+r^{2},\ qr+p,\ qr+p^{2},\ rp+q,\ rp+q^{2}<br /> \]

są pierwsze.

LIII OM - II - Zadanie 3

W $ n $-osobowym stowarzyszeniu działa sześć komisji. W skład każdej z nich wchodzi nie mniej niż $ n/4 $ osób. Dowieść, że istnieją dwie komisje oraz grupa licząca nie mniej niż $ n/30 $ osób, należących do obu tych komisji.

LIII OM - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ zachodzą równości

\[<br /> \measuredangle ADB = 2 \measuredangle ACB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle BDC = 2\measuredangle BAC.<br /> \]

Udowodnić, że $ AD = CD $.

LIII OM - II - Zadanie 1

Dana jest taka funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzą równości

\[<br /> f(x) = f(2x) = f(1 - x) .<br /> \]

Dowieść, że funkcja $ f $ jest okresowa.

Subskrybuje zawartość