Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

LIV OM - III - Zadanie 6

Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą parzystą. Udowodnić, że istnieje permutacja $ (x_1,x_2, \ldots ,x_n) $ zbioru $ \{1,2,\ldots,n\} $, spełniająca dla każdego $ i \in \{1,2,\ldots ,n\} $ warunek:

$ x_{i+1} $ jest jedną z liczb $ 2x_i $, $ 2x_i-1 $, $ 2x_i-n $, $ 2x_i-n-1 $,

przy czym $ x_{n+1} = x_1 $.

LIV OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ ABCD $ jest styczna do ściany $ ABC $ w punkcie $ H $. Druga sfera jest styczna do ściany $ ABC $ w punkcie $ O $ oraz jest styczna do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, to $ H $ jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

LIV OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $, że

\[<br /> 0 <x <y < z <p.<br /> \]

Wykazać, że jeśli liczby $ x^3 $, $ y^3 $, $ z^3 $ dają takie same reszty przy dzieleniu przez $ p $, to liczba $ x^2 + y^2 + z^2 $ jest podzielna przez $ x + y + z $.

LIV OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ W $ o współczynnikach całkowitych, spełniające następujący warunek: dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ 2^n-1 $ jest podzielna przez $ W(n) $.

LIV OM - III - Zadanie 2

Liczba $ a $ jest dodatnia i mniejsza od 1. Dowieść, że dla każdego skończonego, ściśle rosnącego ciągu nieujemnych liczb całkowitych ($ k_1,\ldots,k_n $) zachodzi nierówność

\[<br /> \left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}.<br /> \]
Subskrybuje zawartość