1970-1979

XXVI - I - Zadanie 2

W czworokącie płaskim wypukłym $ ABCD $ wybrano na bokach przeciwległych $ \overline{AB} $ i $ \overline{GD} $ punkty $ P $ i $ B $, zaś na bokach przeciwległych $ \overline{AD} $ i $ \overline{BC} $ punkty $ Q $ i $ S $ w ten sposób, że $ \frac{AP}{PB} = \frac{DR}{RC} = a $, $ \frac{AQ}{QD} = \frac{BS}{SC} = b $. Dowieść, że jeżeli $ O $ jest punktem przecięcia odcinków $ \overline{PR} $ i $ \overline{QS} $, to $ \frac{PO}{OR} = b $ oraz $ \frac{QO}{OS} = a $.

XXVI - I - Zadanie 1

Na balu były 42 osoby. Pani $ A_1 $ tańczyła z 7 panami, pani $ A_2 $ tańczyła z 8 panami, ..., pani $ A_n $ tańczyła, ze wszystkimi panami. Ilu panów było na balu?

XXVII OM - III - Zadanie 6

Funkcja rosnąca $ f $ określona na zbiorze liczb naturalnych spełnia następujący warunek

\[<br /> f(k\cdot l)=f(k)+f(l)<br /> \]

dla dowolnej pary liczb naturalnych $ (k, l) $.
Udowodnić, że istnieje taka liczba rzeczywista $ p > 1 $, że

\[<br /> f(n) = \log_p n \quad \text{ dla } $n = 1, 2, 3, \ldots$.<br /> \]

XXVII OM - III - Zadanie 5

Statek łowi ryby na wodach terytorialnych obcego państwa, nie mając na to pozwolenia. Każde zarzucenie sieci przynosi połów tej samej wartości. Podczas kolejnego zarzucania sieci prawdopodobieństwo %przychwycenia statku przez straż graniczną wynosi $ \frac{1}{k} $ gdzie $ k $ jest ustaloną liczbą naturalną. Zakładamy, że zdarzenie polegające na złapaniu lub niezłapaniu statku przy kolejnym zarzuceniu sieci jest niezależne od dotychczasowego przebiegu połowu. W razie przechwycenia przez straż graniczną, całość dotychczas złowionych ryb ulega konfiskacie i dalszy polów jest niemożliwy. Kapitan planuje powrót po $ n $-tym zarzuceniu sieci. Przy uwzględnieniu ryzyka złapania statku zysk z połowa jest zmienną losową. Znaleźć liczbę $ n $, przy której wartość oczekiwana zysku jest maksymalna.

XXVII OM - III - Zadanie 4

Przekątne pewnego czworokąta płaskiego, którego kolejne boki mają długości $ a, b, c, d $, są prostopadłe. Udowodnić, że przekątne dowolnego czworokąta płaskiego, którego kolejne boki maj, długości $ a, b, c, d $, są prostopadłe.

XXVII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnego czworościanu iloczyny długości jego przeciwległych krawędzi są długościami boków pewnego trójkąta.

XXVII OM - III - Zadanie 2

Dane są cztery takie ciągi liczb rzeczywistych $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $, $ (d_n) $, że dla
każdego $ n $

\[<br /> \begin{split}<br /> a_{n+1} = a_n + b_n,&\quad b_{n+1} = b_n + c_n,\\<br /> c_{n+1} = c_n + d_n,&\quad d_{n+1} = d_n + a_n.<br /> \end{split}<br /> \]

Udowodnić, że jeżeli dla pewnych $ k, m \geq 1 $ jest $ a_{k+m} = a_m $, $ b_{k+m} = b_m $, $ c_{k+m} = c_m $, to $ a_2=b_2=c_2=d_2 $.

XXVII OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie umieszczono sześć punktów w ten sposób, że każde trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o bokach różnej długości. Udowodnić, że najkrótszy bok pewnego z tych trójkątów jest zarazem najdłuższym bokiem innego z nich.

Subskrybuje zawartość