1960-1969

XVI OM - II - Zadanie 2

Na bokach $AB, BC, CA$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio punkty $P, M, N$ , różne od wierzchołków trójkąta. Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach $ANP$ , $BPM$ , $CMN$ mają punkt wspólny.

XVI OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że układ warunków

$ (1) \qquad \sqrt{a + b} = \sqrt{a + c} + \sqrt{b + c}, $

$ (2) \qquaad c \neq 0, $

gdzie $a, b, c$ oznaczają liczby rzeczywiste, jest równoważny układowi warunków

$ (I) \qquad a > 0, \quad b > 0, $

$ (II) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0. $

XVI OM - I - Zadanie 12

W przestrzeni dane są dwa wielościany. Dowieść, że najdłuższy z odcinków łączących punkty jednego wielościanu z punktami drugiego ma końce w wierzchołkach wielościanów.

Udowodnić twierdzenie: Łamana zamknięta o pięciu bokach, której żadne trzy wierzchołki nie leżą na jednej prostej, może przecinać się sama ze sobą w jednym, dwóch, trzech lub pięciu punktach, ale nie może przecinać się ze sobą w czterech punktach.

XVI OM - I - Zadanie 10

Udowodnić, że jeżeli dla każdej wartości $a$ zachodzi równość

$ (1) \qquad x \sin \alpha + y \sin 2 \alpha + z \sin 3 \alpha = 0,\quad \text{ to } \quad x = y = z = 0. $

XVI OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli wartość funkcji $y = ax^2 + bx + c$ dla trzech kolejnych wartości całkowitych zmiennej $x$ jest liczbą całkowitą, to jest również liczbą całkowitą dla każdej wartości całkowitej $x$ .

XVI OM - I - Zadanie 8

Na krawędziach bocznych graniastosłupa o podstawie trójkątnej $ABC$ odmierzono odcinki $AA_1 = p_1$ , $BB_1 = p_2$ , $CC_1 = p_3$ . Prosta równoległa do krawędzi bocznych przecina podstawę $ABC$ w punkcie $D$ , a płaszczyznę $A_1B_1C_1$ w punkcie $D_1$ Dowieść, że