Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

VII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, ze z odcinków o długościach $ a $, $ b $, $ c $ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br /> (1) \qquad a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 > \frac{1}{2} (a^4 + b^4 + c^4).<br /> \]

VII OM - I - Zadanie 8

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $ i wewnątrz jednego z jego boków punkt $ M $. Zbudować trójkąt o najmniejszym obwodzie, którego jednym wierzchołkiem jest punkt $ M $, a dwa inne leżą na dwóch pozostałych bokach trójkąta.

VII OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni leży prostokąt $ ABCD $ oraz punkt $ M $. Obliczyć odległość $ MD $ mając dane odległości $ MA $, $ MB $, $ MC $.

VII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ p_1 $, $ p_2 $, $ q_1 $, $ q_2 $ spełniają równość

\[<br /> (1) \qquad p_1p_2 = 2(q_1 + q_2),<br /> \]

to co najmniej jedno z równań

\[<br /> (2) \qquad x^2 + p_1x + q_1 = 0, \quad x^2 + p_2x + q_2 = 0<br /> \]

ma pierwiastki rzeczywiste.

VII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt ze środkami okręgów dopisanych leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie.

VII OM - I - Zadanie 3

W kwadracie $ ABCD $ o polu $ S $ połączono wierzchołek $ A $ ze środkiem boku $ BG $, wierzchołek $ B $ ze środkiem boku $ CD $, wierzchołek $ C $ ze środkiem boku $ DA $ i wierzchołek $ D $ ze środkiem boku $ AB $. Obliczyć pole tej części kwadratu, w której leży jego środek.

VIII OM - III - Zadanie 6

Dany jest sześcian o podstawie $ ABCD $, przy czym $ AB = a $ cm. Obliczyć odległość prostej $ BC $ od prostej przechodzącej przez punkt $ A $ i przez środek $ S $ ściany przeciwległej do podstawy.

Subskrybuje zawartość