Liczby całkowite

XLII OM - II - Zadanie 3

Dane są liczby całkowite dodatnie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $ takie, że $ a+b = c+d = e+f = 101 $. Udowodnić, że liczby $ \frac{ace}{bdf} $ nie można zapisać w postaci ułamka $ \frac{m}{n} $ gdzie $ m $, $ n $ są liczbami całkowitymi dodatnimi o sumie mniejszej od $ 101 $.

XLII OM - I - Zadanie 11

Dla danej liczby naturalnej $ n>10^3 $ oraz każdego $ k \in \{1,\ldots, n\} $ rozważamy resztę $ r_k $ z dzielenia $ 2^n $ przez $ k $. Dowieść że $ r_1+\ldots r_n > 2n $.

XLIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ liczba $ (k!)^{k^2+k+1} $ jest dzielnikiem liczby $ (k^3)! $.

XLIII OM - II - Zadanie 1

Każdy wierzchołek pewnego wielokąta ma obie współrzędne całkowite; długość każdego boku tego wielokąta jest liczbą naturalną. Udowodnić, że obwód wielokąta jest liczbą parzystą.

XLIII OM - I - Zadanie 3

Dane są liczby naturalne $ a $ i $ b $. Udowodnić, że liczby naturalne $ c $ i $ d $
spełniające równość

\[<br /> a^2+b^2+c^2 = d^2<br /> \]

istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy $ ab $ jest liczbą parzystą.

XLV OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza p. Wykazać równoważność zdań:

(a) Istnieje taka liczba całkowita $ n $, że liczba $ n^2 - n + 3 $ jest podzielna przez $ p $.

(b) Istnieje taka liczba całkowita $ m $, że liczba $ m^2 - m +25 $ jest podzielna przez $ p $.

XLV OM - I - Zadanie 8

Dane są takie liczby naturalne $ a $, $ b $, $ c $, że $ a^3 $ dzieli się przez $ b $, $ b^3 $ dzieli się przez $ c $, a $ c^3 $ dzieli się przez $ a $. Udowodnić, że liczba $ (a+b+c)^{13} $ jest podzielna przez $ abc $.

XLV OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że układ równań

\[<br /> \begin{cases}<br /> a^2 - b = c^2 \\<br /> b^2 - a = d^2<br /> \end{cases}<br /> \]

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, $ d $.

XLVI OM - II - Zadanie 6

Kwadrat o boku długości $ n $ dzielimy na $ n^2 $ kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których taki kwadrat mozna pociąć wzdłuż linii tego podziału na kwadraty, z których każdy ma bok długości 2 lub 3.

Subskrybuje zawartość