Nierówności

XVIII ZMPB - Zadanie 1

Dla dodatniej liczby całkowitej $ n $ rozważmy rozbicie zbioru $ \{1,2,\ldots,2n\} $ na $ n $ podzbiorów dwuelementowych $ P_1 $, $ P_2 $, $ \ldots $, $ P_n $. W każdym zbiorze $ P_i $ niech $ p_i $ będzie iloczynem obu elementów zbioru $ P_i $. Udowodnić, że

\[<br /> {1\over p_1}+{1\over p_2}+\ldots+{1\over p_n}<1.<br /> \]

I OM - B - Zadanie 3

Ktoś ma wagę dwuramienną nierzetelną (tzn. wagę,
której ramiona są nierówne). Chcąc odważyć 2 kg cukru postępuje
w sposób następujący: kładzie ciężarek 1 kg na lewej szalce wagi,
a na prawą szalkę sypie cukier aż do zrównoważenia; następnie:
opróżniwszy obie szalki kładzie ciężarek 1 kg na prawej szalce, a na
lewą sypie cukier aż do zrównoważenia. Czy odważone w ten sposób dwie
ilości cukru stanowią razem mniej, czy więcej, czy też dokładnie
2 kg?

LIX OM - I -Zadanie 9

Wyznaczyć najmniejszą liczbę rzeczywistą a o następującej własności:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x, y, z \geqslant a $ spełniających warunek $ x +y + z = 3 $
prawdziwa jest nierówność

\[<br /> x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3.<br /> \]

LX OM - II - Zadanie 2

Dane są takie liczby całkowite $ a $ i $ b $, że $ a>b> 1 $ oraz liczba $ ab +1 $ jest podzielna przez $ a+b $,
zaś liczba $ ab-1 $ jest podzielna przez $ a-b $.

Wykazać, że $ a<b\sqrt{3} $.

LX OM - I - Zadanie 11

Udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych
$ k>m \geqslant 1 $ spełniona jest nierówność

\[<br /> \frac{\sqrt[k]{k!}}{\sqrt[m]{m!}} < \frac{k}{m}<br /> \]

LX OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych
$ a $, $ b $, $ c $ prawdziwa jest nierówność

\[4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3}) \leqslant 4c^3 +(a+b)^3.\]
Subskrybuje zawartość