Planimetria

XVI OM - III - Zadanie 5

Punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ dzielą odpowiednio boki $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ w stosunkach $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Obliczyć stosunek pól trójkątów $ A_1B_1C_1 $ i $ ABC $.

XVI OM - II - Zadanie 2

Na bokach $ AB, BC, CA $ trójkąta $ ABC $ obrano odpowiednio punkty $ P, M, N $, różne od wierzchołków trójkąta. Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach $ ANP $, $ BPM $, $ CMN $ mają punkt wspólny.

XVI OM - I - Zadanie 11

Udowodnić twierdzenie: Łamana zamknięta o pięciu bokach, której żadne trzy wierzchołki nie leżą na jednej prostej, może przecinać się sama ze sobą w jednym, dwóch, trzech lub pięciu punktach, ale nie może przecinać się ze sobą w czterech punktach.

XVI OM - I - Zadanie 7

Na boku $ AB $ trójkąta $ ABC $ obrano punkt $ K $ i wyznaczono na prostych $ AC $ i $ BC $ takie punkty $ M $ i $ N $, że $ KM \perp AC $, $ KN \perp BC $. Przy jakim położeniu punktu $ K $ pole trójkąta $ MKN $ jest największe ?

XVI OM - I - Zadanie 2

Przez środek ciężkości $ S $ trójkąta poprowadzono odcinek, którego końce $ M $ i $ N $ leżą na obwodzie trójkąta. Dowieść, że

\[<br /> \frac{1}{2} \leq \frac{MS}{SN} \leq 2.<br /> \]

XVII OM - III - Zadanie 6

Na płaszczyźnie leży 6 punktów. Dowieść, że stosunek najdłuższego spośród odcinków, łączących te punkty parami, do najkrótszego z tych odcinków nie jest mniejszy od $ \sqrt{3} $.

XVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest sześciokąt wypukły $ ABCDEF $, w którym każda z przekątnych $ AD, BE, CF $ dzieli sześciokąt na dwie części o równych polach. Dowieść, że te trzy przekątne przechodzą przez jeden punkt.

XVII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że suma kwadratów prostokątnych rzutów boków trójkąta na prostą $ p $ płaszczyzny tego trójkąta wtedy i tylko wtedy nie zależy od położenia prostej $ p $, gdy trójkąt jest równoboczny.

XVII OM - II - Zadanie 5

Każdy z boków $ BC, CA, AB $ trójkąta $ ABC $ podzielono na trzy równe części i na środkowych odcinkach tych boków jako na podstawach zbudowano na zewnątrz trójkąta $ ABC $ trójkąty równoboczne, których trzecie wierzchołki oznaczono odpowiednio literami $ A', B', C' $ Prócz tego wyznaczono punkty $ A'', B'', C'' $ symetryczne odpowiednio do $ A', B', C' $ względem prostych $ BC, CA, AB $. Dowieść, że trójkąty $ A'B'C' $ i $ A''B''C'' $ są równoboczne i mają ten sam środek ciężkości, co trójkąt $ ABC $.

XVII OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że środki kół dopisanych trójkąta i punkty symetryczne do środka koła wpisanego w ten trójkąt względem jego wierzchołków leżą na jednym okręgu.

Subskrybuje zawartość