Stereometria

XXXVIII OM - III - Zadanie 4

W zbiorze czworościanów o polu podstawy 1, polu powierzchni całkowitej 4 i mających równe kąty nachylenia ścian bocznych do podstawy znaleźć czworościan o maksymalnej objętości.

XXXVIII OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że suma kątów płaskich przy każdym z wierzchołków danego czworościanu wynosi $180^{\circ}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego ściany są przystające.

XXXIX OM - III - Zadanie 6

Obliczyć maksymalną objętość czworościanu zawartego w półkuli o promieniu długości 1.

Dany jest wielościan wypukły o $k$ ścianach $S_1, \ldots, S_k$ . Oznaczmy wektor długości 1 prostopadły do ściany $S_i$ ( $i = 1, \ldots, k$ ) zwrócony na zewnątrz danego wielościanu przez $\overrrightarrow{n_i}$ , natomiast pole powierzchni tej ściany przez $P_i$ . Dowieść, że

$<br /> \sum_{i=1}^k P_i \cdot \overrightarrow{n_i} = \overrightarrow{0}.<br />$

XXXIX OM - I - Zadanie 12

Dane są dwie współśrodkowe sfery $S_R$ i $S_r$ odpowiednio o promieniach $R$ i $r$ , $R > r$ . Niech $A_0$ będzie pewnym punktem należącym do $S_R$ . Niech $T_{A_0}$ będzie stożkiem o wierzchołku w $A_0$ stycznym do $S_r$ . Oznaczmy $K_1 = T_{A_0} \cap S_R$ . Następnie dla każdego punktu $A \in K_1$ wykreślamy stożek $T_A$ i określamy $K_2 = \bigcup_{A\in K_1} T_A \cap S_R$ i dalej przez indukcję $K_{n+1}= \bigcup_{A\in K_n} T_A \cap S_R$ , gdzie $T_A$ jest stożkiem o wierzchołku w $A$ i stycznym do $S_r$ . Udowodnić, że dla pewnego $n$ jest $K_n = S_R$ .

XXXIX OM - I - Zadanie 8

Dla danego sześcianu o krawędzi długości 1 znaleźć zbiór odcinków o sumie długości nie większej niż $1 +3\sqrt{3}$ mający tę własność, że każde dwa wierzchołki sześcianu są końcami pewnej łamanej złożonej z odcinków tego zbioru.

XL OM - III - Zadanie 5

Na sferze o promieniu $r$ leżą trzy okręgi o promieniu $a$ , parami styczne i zawarte w jednej półsferze. Znaleźć promień okręgu leżącego na tej samej sferze i stycznego do każdego z tych trzech okręgów.

Uwaga Podobnie jak na płaszczyźnie, mówimy, że dwa okręgi leżące na sferze są styczne, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny.

XL OM - II - Zadanie 3

Dany jest kąt trójścienny $OABC$ o wierzchołku $O$ oraz punkt $P$ w jego wnętrzu. Niech $V$ będzie objętością równoległościanu o dwóch wierzchołkach w punktach $O$ i $P$ , którego trzy krawędzie są zawarte w półprostych $OA^{\rightarrow}$ , $OB^{\rightarrow}$ , $OC^{\rightarrow}$ . Obliczyć minimalną objętość czworościanu, którego trzy ściany są zawarte w ścianach kąta trójściennego $OABC$ , a czwarta ściana zawiera punkt $P$ .

XL OM - I - Zadanie 11

Punkty $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ leżą na powierzchni sfery, przy czym odległość każdych dwóch z nich jest mniejsza od długości krawędzi czworościanu foremnego wpisanego w tę sferę. Dowieść, że wszystkie te punkty można oświetlić jednym punktowym źródłem światła umieszczonym na zewnątrz sfery.

XL OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni dany jest skończony zbiór punktów, z których każde cztery są wierzchołkami czworościanu o objętości mniejszej lub równej 1. Udowodnić, że istnieje czworościan o objętości nie większej niż 27, zawierający wszystkie te punkty.

Olimpiady Matematyczne