2000-2009

LVII OM - III - Zadanie 3

Dany jest sześciokąt wypukły $ABCDEF$ , w którym $AC = DF$ , $CE = FB$ oraz $EA = BD$ . Dowieść, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta przecinają się w jednym punkcie.

LVII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $k$ , dla których liczba $3^k+5^k$ jest potęgą liczby całkowitej o wykładniku naturalnym większym od 1.

LVII OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $a, b, c, d, e$ układ równań

$ \begin{cases} a^2 &= b^3 + c^3 \\ b^2 &= c^3 + d^3 \\ c^2 &= d^3 + e^3 \\ d^2 &= e^3 + a^3 \\ e^2 &= a^3 + b^3 \\ \end{cases} $

Dana jest liczba pierwsza $p$ oraz liczba całkowita $n$ , przy czym $p \geq n \geq 3$ . Zbiór $A$ składa się z $n$ -wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru $\{0,1,2,\dots ,p-1\}$ i ma następującą własność:

Dla dowolnych dwóch ciągów $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ oraz $(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ ze zbioru $A$ istnieją takie różne liczby
$k, l, m$ , że

$ x_k\neq y_k,\quad x_l\neq y_l,\quad x_m\neq y_m. $

Wyznaczyć największą możliwą liczbę elementów zbioru $A$ .

LVII OM - II - Zadanie 5

Punkt $C$ jest środkiem odcinka $AB$ . Okrąg $o_1$ przechodzący przez punkty $A$ i $C$ przecina okrąg $o_2$ przechodzący
przez punkty $B$ i $C$ w różnych punktach $C$ i $D$ . Punkt $P$ jest środkiem tego łuku $AD$ okręgu $o_1$ , który nie zawiera
punktu $C$ . Punkt $Q$ jest środkiem tego łuku $BD$ okręgu $o_2$ , który nie zawiera punktu $C$ . Dowieść, że proste $PQ$ i $CD$
są prostopadłe.

LVII OM - II - Zadanie 4

Niech $c$ będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg $(a_n)$ jest określony przez warunki

$ a_1 =1,\;a_{n+1} = d(a_n)+c \text{ dla } n =1,2,\dots, $

gdzie $d(m)$ oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby $m$ . Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita dodatnia $k$ ,
że ciąg $a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots$ jest okresowy.

LVII OM - II - Zadanie 3

Liczby dodatnie $a, b, c$ spełniają warunek $ab+bc+ca = abc$ . Dowieść, że

$ \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq 1 $

LVII OM - II - Zadanie 2

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AC+BC =3AB$ . Okrąg o środku $I$ wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boków
$BC$ i $CA$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Niech $K$ i $L$ będą punktami symetrycznymi odpowiednio do punktów
$D$ i $E$ względem punktu $I$ . Udowodnić, że punkty $A, B, K, L$ leżą na jednym okręgu.

LVII OM - II - Zadanie 1

Liczby całkowite dodatnie $a, b, c, x, y, z$ spełniają równości

$ a^2 + b^2 = c^2, \quad x^2+y^2 = z^2 $

oraz nierówności $|x-a|\leq 1$ , $|y-b|\leq 1$ .

Wykazać, że zbiory $\{a,b\}$ oraz $\{x,y\}$ są równe.

LVII OM - I - Zadanie 12

Niech $a_0$ będzie liczbą całkowitą dodatnią i niech

$ a_{i+1} = \begin{cases} a_i/2, &\text{gdy } a_i \text{ jest liczbą parzystą}, \\ 3a_i -1, &\text{gdy } a_i \text{ jest liczbą nieparzystą} \end{cases} $

dla $i=0,1,2,\dots$ . Wykazać, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią spełniającą warunek $a_n = a_0$ , to $2^n >a_0$ .

Olimpiady Matematyczne