Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

LV OM - I - Zadanie 7

Znaleźć wszystkie takie rozwiązania równania $ a^2+b^2=c^2 $ w liczbach całkowitych dodatnich, że liczby $ a $ i $ c $ są pierwsze, a liczba $ b $ jest iloczynem co najwyżej czterech liczb pierwszych.

LV OM - I - Zadanie 6

Niech $ c $ będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian

\[<br /> P(x) = x^5 - 5x^3 + 4x - c<br /> \]

ma pięć różnych pierwiastków rzeczywistych $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $, $ x_4 $, $ x_5 $. Wyznaczyć, w zależności od $ c $, sumę wartości bezwzględnych współczynników wielomianu

\[<br /> Q(x)=(x-x_{1}^{2})(x-x_{2}^{2})(x-x_{3}^{2})(x-x_{4}^{2})(x-x_{5}^{2}).<br /> \]

LV OM - I - Zadanie 5

Dla liczb całkowitych dodatnich $ m $, $ n $ niech $ N(m,n) $ oznacza liczbę $ m $-wyrazowych ciągów niemalejących o wyrazach ze zbioru

\[<br /> \{1,2, 3,\ldots,n\}.<br /> \]

Dowieść, że $ N(m, n+1) =N(n, m+1) $.

LV OM - I - Zadanie 4

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $. Rozważamy wszystkie takie trójkąty równoboczne $ XYZ $, że punkty $ A $, $ B $, $ C $ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $ YZ $, $ ZX $, $ XY $. Dowieść, że środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $ XYZ $ leżą na jednym okręgu.

LV OM - I - Zadanie 3

Niech $ \mathbb{Q} $ oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ spełniające warunek

\[<br /> (1) \qquad f (x^2 + y) = xf (x) + f (y)<br /> \]

dla każdej pary liczb wymiernych $ x $, $ y $.

LV OM - I - Zadanie 2

Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba pierwsza $ p $ oraz liczby całkowite nieujemne $ x $, $ y $, $ z $ spełniające równanie

\[<br /> (12x + 5)(12y + 7)= p^z.<br /> \]

LV OM - I - Zadanie 1

Dany jest wielokąt o bokach długości wymiernej, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe $ 90^{\circ} $ lub $ 270^{\circ} $. Z ustalonego wierzchołka wypuszczamy promień świetlny do wnętrza wielokąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego przy tym wierzchołku. Promień odbija się zgodnie z zasadą: kąt padania jest równy kątowi odbicia. Udowodnić, że promień trafi w jeden z wierzchołków wielokąta.

Subskrybuje zawartość