Olimpiada Matematyczna

LVI OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni danych jest $n$ punktów ( $n\geq 2$ ) z których żadne cztery nie leżą w jednej płaszczyźnie. Niektóre z tych punktów zostały połączone odcinkami. Niech $K$ będzie liczbą poprowadzonych odcinków ( $K\geq 1$ ), a $T$ liczbą powstałych trójkątów. Udowodnić, że

$ 9T^{2}<2K^{3}. $

LVI OM - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ABCD$ punkt $M$ jest środkiem przekątnej $AC$ . Wykazać, że jeżeli

$ \measuredangle BAD= \measuredangle BMC =\measuredangle CMD $

to na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

LVI OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$ , dla których

$ n^n+1\ \textrm{oraz}\ (2n)^{2n}+1 $

są liczbami pierwszymi.

LVI OM - I - Zadanie 12

Dane są funkcje

$ f(x)=2^x$ \quad \text{oraz} \quad $g(x)= f(f(f(f(f(f(f(x))))))) $

(7-krotna iteracja funkcji $f$ ). Rozstrzygnąć, czy liczba $g(3)-g(0)$ jest podzielna przez liczbę $g(2)-g(0)$ .

LVI OM - I - Zadanie 11

Okrąg o środku $I$ jest wpisany w czworokąt wypukły $ABCD$ , przy czym punkt $I$ nie leży na prostej $AC$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ . Prosta przechodząca przez punkt $E$ oraz prostopadła do prostej $BD$ przecina proste $AI$ , $CI$ odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ . Wykazać, że $PE = EQ$ .

LVI OM - I - Zadanie 10

Spośród wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru $n$ -elementowego $X$ losujemy kolejno ze zwracaniem trzy zbiory $A$ , $B$ , $C$ . Za każdym razem wylosowanie każdego spośród $2^n$ podzbiorów zbioru $X$ jest jednakowo prawdopodobne. Wyznaczyć najbardziej prawdopodobną liczbę elementów zbioru $A\cap B\cap C$ .

LVI OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $a$ , dla których ciąg $(x_n)$ określony wzorami

$ x_{0}=\sqrt{3},\ x_{n+1}= \frac{1+ax_{n}}{a-x_{n}}\ \textrm{dla}\ n=0,1,2,\ \ldots $

spełnia warunek $x_{n+8} = x_n$ dla $n =0, 1, 2, \ldots$ .

LVI OM - I - Zadanie 8

Na okręgu jest umieszczonych $n$ lampek; każda może być włączona albo wyłączona. Wykonujemy serię ruchów; w każdym ruchu wybieramy $k$ kolejnych lampek i zmieniamy ich stan: wyłączone włączamy, a włączone wyłączamy (liczba $k$ nie zmienia się w trakcie tego postępowania). Na początku wszystkie lampki są wyłączone. Dla ustalonej liczby naturalnej $n$ wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $k \leq n$ , dla których jest możliwe uzyskanie stanu z dokładnie jedną lampką włączoną.

LVI OM - I - Zadanie 7

Trzy sfery, parami styczne zewnętrznie, są styczne do pewnej płaszczyzny w punktach $A$ , $B$ , $C$ . Znając długości odcinków $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ , obliczyć promienie tych sfer.