Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

XLVIII MOM - Zadanie 3

W zawodach matematycznych niektórzy uczestnicy przyjaźnią się. Przyjaźń jest zawsze wzajemna. Grupę uczestników nazwiemy kliką, jeśli każdych dwóch zawodników tej grupy przyjaźni się. (W szczególności, każda grupa złożona z mniej niż dwóch zawodników jest kliką.) Liczbę osób, jaką liczy klika nazwiemy jej rozmiarem.

Wiadomo, że w zawodach tych rozmiar największej kliki jest liczbą parzystą. Dowieść, że uczestników zawodów można rozdzielić do dwóch pokoi tak, aby rozmiar największej kliki w jednym pokoju był równy rozmiarowi największej kliki w drugim pokoju.

XLVIII MOM - Zadanie 2

Rozpatrzmy takich pięć punktów płaszczyzny $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, że czworokąt $ ABCD $ jest równoległobokiem, a na czworokącie wypukłym $ BCED $ można opisać okrąg. Niech $ \ell $ będzie prostą przechodzącą przez punkt $ A $. Przypuśćmy, że prosta $ \ell $ przecina wnętrze odcinka $ DC $ w punkcie $ F $, a prostą $ BC $ w punkcie $ G $. Niech ponadto $ EF=EG=EC $. Udowodnić, że prosta $ \ell $ jest dwusieczną kąta $ DAB $.

XLVIII MOM - Zadanie 1

Dane są liczby rzeczywiste $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_n $. Dla każdego $ i $ ($ 1\le i\le n $) określamy

\[<br /> d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\}<br /> \]

oraz

\[<br /> d=\max\{d_i:1\le i\le n\}.<br /> \]

  1. Dowieść, że dla każdych liczb rzeczywistych $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $ spełniona jest nierówność

    \[<br /> \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge{d\over 2}.\leqno(*)<br /> \]

  2. Wykazać, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $, dla których nierówność $ (*) $ staje się równością.

I MEMO - Zadanie 8

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $ k $, dla których istnieje taka liczba całkowita $ a $, że liczba $ (a+k)^3-a^3 $ jest podzielna przez 2007.

I MEMO - Zadanie 7

Czworościan $ T $ nazwiemy dobrym, jeżeli wszystkie długości jego krawędzi są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, z których jedna jest równa 2, a jedna 3. Oznaczmy przez $ s(T) $ sumę długości krawędzi dobrego czworościanu $ T $.

  1. Znaleźć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite $ n $, dla których istnieje dobry czworościan $ T $ spełniający warunek $ s(T)=n $.

  2. Ile istnieje nieprzystających dobrych czworościanów $ T $, dla których $ s(T)=2007 $ ?

Uwaga: Nie jest konieczne dowodzenie, że rozważane czworościany są niezdegenerowane, tzn. posiadają dodatnią objętość.

I MEMO - Zadanie 6

Niech $ P $ będzie dowolnym zbiorem pięciu różnych punktów płaszczyzny, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Oznaczmy przez $ a(P) $ liczbę trójkątów ostrokątnych, których wierzchołki należą do zbioru $ P $. Wyznaczyć największą możliwą wartość $ a(P) $.

I MEMO - Zadanie 5

Dodatnie liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunki

\[<br /> {1\over 2}\le a,b,c,d\le 2\qquad\hbox{oraz}\qquad abcd=1.<br /> \]

Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia

\[<br /> \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr)<br /> \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr).<br /> \]

I MEMO - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary $ (x,y) $ liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie

\[<br /> x!+y!=x^y\,.<br /> \]

I MEMO - Zadanie 3

Dany jest okrąg $ k $ oraz okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $, $ k_4 $ o środkach odpowiednio $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $, $ O_4 $ leżących na okręgu $ k $. Dla $ i=1,2,3,4 $ okręgi $ k_i $ oraz $ k_{i+1} $ (gdzie $ k_5=k_1 $) przecinają się w punktach $ A_i $ i $ B_i $ w taki sposób, że $ A_i $ leży na okręgu $ k $. Zakładamy, że punkty $ O_1 $, $ A_1 $, $ O_2 $, $ A_2 $, $ O_3 $, $ A_3 $, $ O_4 $, $ A_4 $ leżą w takiej kolejności na okręgu $ k $ i są parami różne. Wykazać, że czworokąt $ B_1B_2B_3B_4 $ jest prostokątem.

I MEMO - Zadanie 2

Rozważamy zbiór $ n $ kul ponumerowanych liczbami $ 1, 2, 3, \ldots, n $. Danych jest $ k>1 $ takich zbiorów kul. Chcemy pokolorować wszystkie kule dwoma kolorami, białym i czarnym, tak aby

  1. kule oznaczone tym samym numerem były tego samego koloru;

  2. dowolny podzbiór $ k+1 $ kul z (niekoniecznie różnymi)
    numerami $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_{k+1} $ spełniającymi
    warunek

    \[<br /> a_1+a_2+\ldots+a_k=a_{k+1}<br /> \]

    musiał zawierać co najmniej jedną kulę każdego koloru.

Dla każdego $ k $ znaleźć największe możliwe $ n $, dla którego istnieje pokolorowanie spełniające powyższe warunki.

Subskrybuje zawartość