Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

LVII OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba pierwsza $p> 3$ oraz takie liczby całkowite dodatnie $a, b, c$ , że $a + b+ c = p+1$ oraz liczba
$a^3 +b^3 +c^3 -1$ jest podzielna przez $p$ . Udowodnić, że co najmniej jedna z liczb $a, b, c$ jest równa 1.

LVII OM - I - Zadanie 6

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ wysokości przecinają się w punkcie $H$ . Prosta przechodząca przez $H$ przecina odcinki $AC$ i $BC$
odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Prosta przechodząca przez $H$ i prostopadła do prostej $DE$ przecina prostą $AB$ w punkcie $F$ .
Dowieść, że

$<br /> \frac{DH}{HE} = \frac{AF}{FB}<br />$

LVII OM - I - Zadanie 5

Niech $a, b$ będą liczbami rzeczywistymi. Rozważamy funkcje $f(x)= ax+b|x|$ oraz $g(x)= ax-b|x|$ .
Wykazać, że jeśli $f(f(x)) = x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , to również $g(g(x)) = x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .

LVII OM - I - Zadanie 4

Uczestnicy zawodów matematycznych rozwiązywali sześć zadań, każde oceniane jedną z ocen 6, 5, 2, 0. Okazało się, że
dla każdej pary uczestników $A, B$ można wskazać takie dwa zadania, że w każdym z nich $A$ uzyskał inną ocenę niż $B$ .

Wyznaczyć największą liczbę uczestników, dla której taka sytuacja jest możliwa.

LVII OM - I - Zadanie 3

Trójkąt ostrokątny $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ . Punkt $D$ jest rzutem prostokątnym punktu $C$ na prostą $AB$ , a punkty $E$ i $F$ są rzutami prostokątnymi punktu $D$ odpowiednio na proste $AC$ i $BC$ . Wykazać, że pole czworokąta $EOFC$ jest równe połowie pola trójkąta $ABC$ .