Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

LVII OM - I - Zadanie 2

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych nieujemnych $ x $ równanie

\[<br /> \sqrt[5]{x}=\left[\sqrt[5]{3x}\right]<br /> \]

Uwaga: $ [t] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ t $.

LVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite $ n $, dla których liczba
$ 2^n +105 $ jest kwadratem liczby całkowitej.

I OM - I - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ kąt $ A $ jest dany. Czy można obliczyć kąty $ B $ i $ C $, gdy wiadomo, że pewna prosta przechodząca przez punkt $ A $ dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne?

I OM - I - Zadanie 3

Zbudować trójkąt równoboczny, którego wierzchołki leżą na trzech danych prostych równoległych.

I OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że suma sześcianów $ n $ kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

I OM - B - Zadanie 20

Boki trójkąta prostokątnego są wyrażone liczbami naturalnymi. Jedna z przyprostokątnych wyrażona jest liczbą 10. Obliczyć pozostałe boki tego trójkąta.

Subskrybuje zawartość