Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

XVIII ZMPB - Zadanie 1

Dla dodatniej liczby całkowitej $n$ rozważmy rozbicie zbioru $\{1,2,\ldots,2n\}$ na $n$ podzbiorów dwuelementowych $P_1$ , $P_2$ , $\ldots$ , $P_n$ . W każdym zbiorze $P_i$ niech $p_i$ będzie iloczynem obu elementów zbioru $P_i$ . Udowodnić, że

$ {1\over p_1}+{1\over p_2}+\ldots+{1\over p_n}<1. $

LVIII OM - III - Zadanie 6

Ciąg $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ jest określony przez warunki: $a_0=-1$ oraz

$ a_n+{a_{n-1}\over 2}+{a_{n-2}\over 3}+\ldots+{a_1\over n}+{a_0\over n+1}=0 \qquad\hbox{dla }n\ge 1. $

Wykazać, że $a_n>0$ dla $n\ge 1$ .

LVIII OM - III - Zadanie 5

W czworościanie $ABCD$ spełnione są zależności

$ \begin{split}\measuredangle BAC+\measuredangle BDC & =\measuredangle ABD+\measuredangle ACD, \\ \measuredangle BAD+\measuredangle BCD & =\measuredangle ABC+\measuredangle ADC. \end{split} $

Udowodnić, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi $AB$ i $CD$ .

LVIII OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita $n\ge 1$ . Wyznaczyć liczbę możliwych wartości iloczynu $k\cdot m$ , gdzie $k$ , $m$ są liczbami całkowitymi
spełniającymi nierówności

$ (1) \qquad n^2\le k\le m\le (n+1)^2. $

Czytaj dalej

LVIII OM - III - Zadanie 3

Płaszczyznę podzielono prostymi poziomymi i pionowymi na kwadraty jednostkowe.
W każdy kwadrat należy wpisać liczbę całkowitą dodatnią tak, by każda
liczba całkowita dodatnia wystąpiła na płaszczyźnie dokładnie raz.
Rozstrzygnąć, czy można to uczynić w taki sposób, aby każda napisana liczba
była dzielnikiem sumy liczb wpisanych w cztery kwadraty sąsiednie.

LVIII OM - III - Zadanie 2

Liczbę całkowitą dodatnią nazwiemy białą, jeżeli jest równa 1
lub jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).
Pozostałe liczby całkowite dodatnie nazwiemy czarnymi.

Zbadać, czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia, że suma jej białych
dzielników jest równa sumie jej czarnych dzielników.

LVIII OM - III - Zadanie 1

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego, odcinek $CD$ jest wysokością, punkt $E$ leży na boku $AB$ , a punkt $M$ jest środkiem odcinka $CE$ . Prosta prostopadła do prostej $OM$ i przechodząca przez punkt $M$ przecina proste $AC$ , $BC$ odpowiednio w punktach $K$ , $L$ . Dowieść, że

$ {LM\over MK}={AD\over DB}. $

LVIII OM - II - Zadanie 6

Liczby dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunek

$ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over d}=4. $

Wykazać, że

$ \root{\scriptstyle 3}\of{{a^3+b^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{b^3+c^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{c^3+d^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{d^3+a^3\over 2}} \le 2(a+b+c+d)-4. $

LVIII OM - II - Zadanie 5

Czworokąt wypukły $ABCD$ , w którym $AB\ne CD$ , jest wpisany\break w okrąg. Czworokąty $AKDL$ i $CMBN$ są rombami o bokach długości $a$ . Dowieść, że punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ leżą na jednym okręgu.