Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

LVIII OM - II - Zadanie 3

Z $n^2$ płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku $1$ ułożono trójkąt równoboczny o boku $n$ . Każda płytka jest z jednej strony biała, a z drugiej czarna. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: Wybieramy płytkę $P$ mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki $P$ . Następnie odwracamy płytkę $P$ na drugą stronę.

Dla każdego $n\ge 2$ rozstrzygnąć, czy istnieje początkowe ułożenie płytek, pozwalające wykonać nieskończony ciąg ruchów.

LVIII OM - II - Zadanie 2

Dany jest pięciokąt wypukły $ABCDE$ , w którym

$BC=CD,\quad DE=EA,\quad \measuredangle BCD=\measuredangle DEA=90^\circ. $

Udowodnić, że z odcinków o długościach $AC$ , $CE$ , $EB$ można zbudować trójkąt. Wyznaczyć miary jego kątów, znając miarę $\alpha$ kąta $ACE$ i miarę $\beta$ kąta $BEC$ .

Czytaj dalej

LVIII OM - I - Zadanie 12

Wielomian $W$ o współczynnikach rzeczywistych przyjmuje w przedziale $\langle a;b\rangle$ (gdzie ${a<b}$ ) tylko wartości dodatnie. Udowodnić, że istnieją takie wielomiany $P$ oraz $Q_1,Q_2,\ldots,Q_m$ , że

$ W(x)=P(x)^2+(x-a)(b-x)\sum_{i=1}^m Q_i(x)^2 $

dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .

LVIII OM - I - Zadanie 11

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n$ wyznaczyć liczbę permutacji $(x_1,x_2,\ldots,x_{6n-1})$ zbioru $\{1,2,\ldots,6n{-}1\}$ , spełniających warunki:

$ \begin{split} \hbox{jeśli}\;\;i-j=2n{+}1,\;\;\hbox{to}\;\;x_i>x_j; \\ \hbox{jeśli}\;\;i-j=4n \phantom{{+}1},\;\;\hbox{to}\;\;x_i<x_j. \\ \end{split} $

LVIII OM - I - Zadanie 10

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ . Punkty $P$ i $U$ leżą na boku $BC$ , punkty $Q$ i $S$ leżą na boku $CA$ , punkty $R$ i $T$ leżą na boku $AB$ , przy czym

$ \begin{split} PR\perp BC,\quad QP\perp CA,\quad RQ\perp AB, \\ US\perp BC,\quad ST\perp CA,\quad TU\perp AB. \\ \end{split} $

Dowieść, że trójkąty $PQR$ i $STU$ są przystające.

LVIII OM - I - Zadanie 9

Niech $F(k)$ będzie iloczynem wszystkich dodatnich dzielników liczby całkowitej dodatniej $k$ . Rozstrzygnąć, czy istnieją różne liczby całkowite dodatnie $m$ , $n$ , dla których ${F(m)=F(n)}$ .

LVIII OM - I - Zadanie 8

Niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Dowieść, że istnieje taka permutacja $(x_1,x_2,\ldots,x_{p-1})$ zbioru $\{1,2,\ldots,p{-}1\}$ , że liczby

$ x_1,\;\;\; x_1x_2,\;\;\; x_1x_2x_3,\;\;\; \ldots,\;\;\; x_1x_2...x_{p-1} $

dają różne reszty przy dzieleniu przez $p$ .

LVIII OM - I - Zadanie 7

Dany jest czworościan $ABCD$ . Dwusieczna kąta $ABC$ przecina krawędź $AC$ w punkcie $Q$ . Punkt $P$ jest symetryczny do $D$ względem punktu $Q$ . Punkt $R$ leży na krawędzi $AB$ , przy czym ${BR={1\over2}BC}$ . Udowodnić, że z odcinków o długościach $BP$ , $CD$ oraz $2\cdot QR$ można zbudować trójkąt.

LVIII OM - I - Zadanie 6

Wykazać, że jeżeli liczby $a,b,c$ są dodatnie, to

$ {1\over a+ab+abc}+{1\over b+bc+bca}+{1\over c+ca+cab}\leq {1\over3\root{\scriptstyle3}\of{abc}} \Bigl({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\Bigr)\,. $

LVIII OM - I - Zadanie 5

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ , w którym $\angle ACB=45^\circ$ . Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , punkt $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ABC$ . Prosta przechodząca przez punkt $O$ i prostopadła do prostej $CO$ przecina proste $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ . Wykazać, że