1980-1989

Dowieść, że jeżeli w trójkącie proste prostopadłe do boków, poprowadzone przez punkty przecięcia tych boków z dwusiecznymi przeciwległych kątótw przecinają się w jednym punkcie, to trójkąt jest równoramienny.

XXXVI OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczba całkowita podzielna przez 3 jest sumą pięciu kwadratów liczb całkowitych, to co najmniej dwa z tych kwadratów są podzielne przez 9.

XXXVII OM - III - Zadanie 6

W trójkącie $ABC$ punkty $K$ i $L$ są rzutami prostokątnymi wierzchołków $B$ i $C$ na dwusieczną kąta $BAC$ , punkt $M$ jest spodkiem wysokości trójkąta $ABC$ poprowadzonej z wierzchołka $A$ , a punkt $N$ jest środkiem boku $BC$ . Wykazać, że punkty $K$ , $L$ , $M$ i $N$ leżą na jednym okręgu.

XXXVII OM - III - Zadanie 5

W turnieju szachowym uczestniczy $2n$ ( $n > 1$ ) zawodników, przy czym każdych dwóch spośród nich rozgrywa między sobą co najwyżej jedną partię. Dowieść, że taki przebieg rozgrywek, w którym żadna trójka uczestników nie rozgrywa trzech partii między sobą jest możliwy wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wszystkich partii rozegranych w turnieju nie przekracza $n^2$ .