1970-1979

XXVII OM - II - Zadanie 4

Wewnątrz okręgu $ S $ umieszczono okrąg $ T $ oraz okręgi $ K_1, K_2, \ldots, K_n $ styczne zewnętrznie do $ T $ i wewnętrznie do $ S $, przy tym okrąg $ K_1 $ jest styczny do $ K_2 $, $ K_2 $ styczny do $ K_3 $ itd. Udowodnić, że punkty styczności okręgów $ K_1 $ z $ K_2 $, $ K_2 $ z $ K_3 $ itd. leżą na okręgu.

XXVII OM - II - Zadanie 3

Rozważamy czaszę kulistą nie zawierającą żadnego kola wielkiego. Odległość punktów $ A $ i $ B $ na takiej czaszy określamy jako długość tego łuku koła wielkiego kuli o końcach w punktach $ A $ i $ B $, który jest zawarty w czaszy. Wykazać, że nie istnieje izometria odwzorowująca tę czaszę na podzbiór płaszczyzny.
Uwaga. Czasza kulista jest to każda z dwóch części, na które dzieli powierzchnię kuli płaszczyzna przecinająca tę kulę.

XXVII OM - I - Zadanie 11

Stacje nadawczo-odbiorcze są kolejno ze sobą połączone: $ S_0 $ z $ S_1 $, $ S_1 $ z $ S_2 $, ..., $ S_n $ z $ S_{n+1} $, ... Stacja $ S_0 $ nadaje sygnał 1 lub -1, stacja $ S_1 $ odbiera z prawdopodobieństwem $ 1 - \varepsilon $ ten sam sygnał, a z prawdopodobieństwem $ \varepsilon $ sygnał przeciwny. Stacja $ S_1 $ nadaje odebrany sygnał do stacji $ S_2 $ na tych samych zasadach, następnie stacja $ S_2 $ nadaje odebrany sygnał do stacji $ S_3 $, itd. Niech $ p^n(i|j) $ oznacza prawdopodobieństwo, że stacja $ S_n $ odbiera sygnał $ i $ pod warunkiem, że stacja $ S_0 $ nadała sygnał $ j $. Oblicz $ \lim_{n\to \infty} p^n(i|j) $.

XXVII OM - I - Zadanie 10

Punkty $ A', B', C', D' $ płaszczyzny $ Q $ są odpowiednio rzutami równoległymi punktów $ A, B, C, D $ płaszczyzny $ P $, przy czym punkty $ A, B, C, D, A', B', C', D' $ są różne i żadne trzy spośród nich nie leżą na prostej. Dowieść, że czworościany $ ABCD' $ i $ A'B'C'D $ mają równe objętości.

XXVII OM - I - Zadanie 9

W koło o promieniu 1 wpisano trójkąt o długościach boków $ a, b, c $. Dowieść, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 > 8 $, prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 = 8 $, rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 < 8 $.

XXVII OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 istnieją takie punkty $ P $ i $ Q $, że dowolny punkt powierzchni tego czworościanu można połączyć z jednym z punktów $ P $, $ Q $ łamaną długości $ \leq \frac{\sqrt{3}}{3} $ leżącą na powierzchni czworościanu.

XXVII OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że dowolną parę okręgów nie przecinających się można przekształcić przez inwersję na parę okręgów współśrodkowych.

Uwaga: Inwersją względem okręgu o środku $ O $ i promieniu $ r $ nazywamy przekształcenie, które każdemu punktowi $ X $ płaszczyzny zawierającej ten okrąg różnemu od punktu $ O $ przyporządkowuje punkt $ Y $ leżący na półprostej $ OX^\to $ taki, że $ OX \cdot OY= r^2 $. O własnościach inwersji można przeczytać w książce S. Straszewicz; Zadania z olimpiad matematycznych. Warszawa 1956, str. 181-186 t. I.

Subskrybuje zawartość