1960-1969

XVI OM - I - Zadanie 4

Szkoła urządziła trzy wycieczki dla swych 300 uczniów. W każdej wycieczce wzięła udział ta sama liczba uczniów. Każdy uczeń pojechał przynajmniej na jedną wycieczkę, ale połowa uczestników pierwszej, trzecia część uczestników drugiej i czwarta część uczestników trzeciej wycieczki była tylko na jednej wycieczce.
Ilu uczniów pojechało na każdą wycieczkę ? Ilu uczestników pierwszej wycieczki wzięło udział w drugiej a ilu z nich brało nadto udział w trzeciej wycieczce ?

XVI OM - I - Zadanie 3

Przez każdą krawędź kąta trójściennego poprowadzono płaszczyznę zawierającą dwusieczną przeciwległego kąta płaskiego. Dowieść, że poprowadzone trzy płaszczyzny przechodzą przez jedną prostą.

XVI OM - I - Zadanie 2

Przez środek ciężkości $ S $ trójkąta poprowadzono odcinek, którego końce $ M $ i $ N $ leżą na obwodzie trójkąta. Dowieść, że

\[<br /> \frac{1}{2} \leq \frac{MS}{SN} \leq 2.<br /> \]

XVII OM - III - Zadanie 6

Na płaszczyźnie leży 6 punktów. Dowieść, że stosunek najdłuższego spośród odcinków, łączących te punkty parami, do najkrótszego z tych odcinków nie jest mniejszy od $ \sqrt{3} $.

XVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest sześciokąt wypukły $ ABCDEF $, w którym każda z przekątnych $ AD, BE, CF $ dzieli sześciokąt na dwie części o równych polach. Dowieść, że te trzy przekątne przechodzą przez jeden punkt.

XVII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby nieujemne $ x_1, x_2,\ldots,x_n $ ($ n $ - dowolna liczba naturalna) spełniają nierówność
$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leq \frac{1}{2} $, to

\[<br /> (1 - x_1)(1 - x_2)\ldots (1-x_n) \geq \frac{1}{2}<br /> \]

XVII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić, że suma kwadratów pól prostokątnych rzutów ścian prostopadłościanu na jedną płaszczyznę nie zależy od położenia tej płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy prostopadłościan jest sześcianem.

XVII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że gdy $ k, m, n $, są dowolnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi, to wielomian

\[<br /> P(x) = x^{3k+2} + x^{3m+1} + x^{3n}<br /> \]

jest podzielny przez wielomian $ x^2 + x + 1 $.

Subskrybuje zawartość