Liczby całkowite

XLVI OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie pary $(x,y)$ liczb naturalnych, dla których liczby $\frac{x+1}{y}$ oraz $\frac{y+1}{x}$ są naturalne.

Dla liczby naturalnej $k \geq 1$ oznaczmy przez $p(k)$ najmniejszą liczbę pierwszą, która nie jest dzielnikiem liczby $k$ . Jeśli $p(k) > 2$ , to przyjmujemy, że $q(k)$ jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od $p(k)$ ; gdy zaś $p(k) = 2$ , to przyjmujemy $q(k) = 1$ . Określamy ciąg $(x_n)$ wzorami:

$ x_0 = 1, \quad x_{n+1} = \frac{x_n p(x_n)}{q(x_n)} \text{ dla } n = 0,1,2,\ldots . $

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których zachodzi równość $x_n = 111111$ .

XLVII OM - II - Zadanie 5

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $(x,y)$ spełniające równanie

$ x^2(y - 1) + y^2(x - 1) = 1. $

XLVII OM - I - Zadanie 10

Wykazać, że równanie $x^x = y^3 + z^3$ ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich $x, y, z$ .

XLVII OM - I - Zadanie 2

Liczbą palindromiczną nazywamy taką liczbę naturalną, której zapis dziesiętny czytany od strony lewej do prawej jest taki sam, jak czytany od strony prawej do lewej. Niech $(x_n)$ bedzie rosnącym ciągiem wszystkich liczb palindromicznych. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze, które są dzielnikami co najmniej jednej z różnic $x_{n+1}-x_n$ .

XLVIII OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że liczba naturalna $n \geq 2$ jest złożona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby naturalne $a,b,x,y \geq 1$ spełniające warunki: $a+b=n$ , $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ .

XLVIII OM - III - Zadanie 1

Liczby całkowite dodatnie $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ , $x_6$ , $x_7$ spełniają warunki:

$ x_6 = 144\ \textrm{oraz}\ x_{n+3} = x_{n+2}(x_{n+1} + x_n) \ \textrm{dla} \ n = 1, 2, 3,4. $

Wyznaczyć $x_7$ .

XLVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich mających następującą własność: iloczyn dowolnych dwóch z nich daje resztę $1$ przy dzieleniu przez trzecią liczbę.