Planimetria

XVII OM - I - Zadanie 7

W dany trójkąt wpisano dwa trójkąty w taki sposób, że wierzchołki jednego z nich są symetryczne do wierzchołków drugiego względem środków boków danego trójkąta. Udowodnić, że pola tych trójkątów są równe.

XVII OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest okrąg i punkt $M$ . Znaleźć na okręgu takie punkty $A$ i $B$ , żeby odcinek $AB$ miał daną długość $d$ , a kąt $AMB$ był równy danemu kątowi $\alpha$ .

XVII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć miejsce geometryczne środków ciężkości trójkątów ostrokątnych wpisanych w dany okrąg.

XVIII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków wpisany, w okrąg ma wszystkie kąty równe, to wielokąt ten jest foremny.

XVIII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli punkty $A_1, B_1, C_1$ leżące odpowiednio na bokach $BC, CA, AB$ trójkąta $ABC$ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $P$ trójkąta na te boki, to

$<br /> (1) AC_1^2 + BA_1^2 + CB_1^2 = AB_1^2 + BC_1^2 + CA_1^2.<br />$

XVIII OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie leżą dwa trójkąty jeden na zewnątrz drugiego.
Dowieść, że istnieje taka prosta, przechodząca przez dwa wierzchołki jednego trójkąta, że trzeci wierzchołek tego trójkąta oraz drugi trójkąt leżą po przeciwnych stronach tej prostej.

XVIII OM - II - Zadanie 3

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $A$ . Poprowadzono cięciwę $BC$ większego okręgu styczną do mniejszego w punkcie $D$ . Dowieść, że $AD$ jest dwusieczną kąta $BAC$ .

XVIII OM - I - Zadanie 11

Dane są trzy okręgi o tym samym promieniu, przecinające się parami i mające jeden punkt wspólny. Dowieść, że pozostałe trzy punkty przecięcia okręgów leżą na okręgu o tymże promieniu.

XVIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie leży $2n$ punktów. Dowieść, że istnieje prosta nie przechodząca przez żaden z tych punktów i dzieląca płaszczyznę na półpłaszczyzny, z których każda zawiera $n$ spośród danych punktów. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla przestrzeni.

XVIII OM - I - Zadanie 4

W okrąg o środku $O$ wpisano trójkąt $ABC$ i wyznaczono punkty $A_1$ i $B_1$ odpowiednio symetryczne, do wierzchołków $A$ i $B$ względem punktu $O$ oraz punkt $P$ , w którym prosta przechodząca przez punkt $A_1$ i środek $M$ boku $BC$ przecina się z prostą poprowadzoną przez punkt $B_1$ i środek $N$ boku $AC$ .
Dowieść, że środek ciężkości $S$ trójkąta $ABC$ leży na odcinku $PO$ i dzieli go w stosunku $2:1$ .