Stereometria

XLI OM - II - Zadanie 2

W przestrzeni dany jest punkt $O$ oraz skończony zbiór wektorów $\overrightarrow{v_1},\ldots,\overrightarrow{v_n}$ . Rozważamy zbiór tych punktów $P$ , dla których wektor $\overrightarrow{OP}$ daje się przedstawić w postaci sumy $a_1 \overrightarrow{v_1} + \ldots + a_n\overrightarrow{v_n}$ o współczynnikach spełniających nierówności $0 \leq a_i \leq 1$ ( $i = 1, 2, \ldots, n$ ). Rozstrzygnąć, czy zbiór ten może być czworościanem.

XLI OM - I - Zadanie 6

Niech $M$ będzie dowolnym punktem czworościanu $ABCD$ . Oznaczmy pola ścian $BCD$ , $ACD$ , $ABD$ , $ABC$ odpowiednio przez $S_A$ , $S_B$ , $S_C$ , $S_D$ objętość zaś czworościanu przez $V$ . Udowodnić, że

$ S_A\cdot |MA| + S_B\cdot |MB| + S_C\cdot |MC| + S_D\cdot|MD| \geq 9V. $

XLII OM - III - Zadanie 1

Zbadać, czy istnieją czworościany $T_1$ i $T_2$ o następujących dwóch własnościach:

(a) objętość czworościanu $T_1$ jest większa od objętości czworościanu $T_2$ ;

(b) pole każdej ściany czworościanu $T_1$ nie przekracza pola żadnej ściany czworościanu $T_2$ .

XLII OM - II - Zadanie 6

Równoległościan zawiera kulę o promieniu $r$ i jest zawarty w kuli o promieniu $R$ . Dowieść, że $\frac{R}{r} \geq \sqrt{3}$ .

XLII OM - I - Zadanie 8

Wyznaczyć największą liczbę naturalną $n$ , dla której istnieje w przestrzeni $n+1$ wielościanów $W_0, W_1, \ldots, W_n$ o następujących własnościach:

(l) $W_0$ jest wielościanem wypukłym mającym środek symetrii,

(2) każdy z Wielościanów $W_i$ ( $i = 1,\ldots, n$ ) powstaje z $W_0$ przez przesunięcie,

(3) każdy z wielościanów $W_i$ ( $i = 1,\ldots, n$ ) ma punkt wspólny z $W_0$ ,

(4) wielościany $W_0, W_1, \ldots, W_n$ mają wnętrza parami rozłączne.

XLIII OM - III - Zadanie 5

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest $2n$ -kąt foremny $A_1, A_2, \ldots, A_n$ . Sfera przechodząca przez wierzchołek $S$ , ostrosłupa pezecina krawędzie boczne $SA_i$ w punktach $B_i$ ( $i = 1,2,\ldots, 2n$ ). Udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^n |SB_{2i-1}| = \sum_{i=1}^n |SB_{2i}|. $

XLIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć kres górny obiętości kul zawartych w czworościanach o wszystkich wysokościach nie dłuższych niż $1$ .

XLIII OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ABCD$ sumy długości przeciwległych krawędzi wynoszą $1$ . Okręgi wpisane w ściany $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ i $ABC$ mają promienie $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ , $r_D$ . Udowodnić, że

$ r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{1}{3}\sqrt{3} $

oraz równość ma miejsce dla czworościanu foremnego.

XLIV OM - III - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy można obliczyć objętość czworościanu znając pola jego czterech ścian oraz promień kuli opisanej (tzn. czy objętość czworościanu jest funkcją pól jego ścian i promienia kuli opisanej).

XLIV OM - II - Zadanie 3

Na krawędzi $|OA_1|$ czworościanu $|OA_1B_1C_1|$ wybrano punkty $A_2$ , $A_3$ tak, że $|OA_1| > |OA_2| > |OA_3| > O$ . Niech $B_2$ , $B_3$ będą takimi punktami krawędzi $|OC_1|$ , a $C_2$ , $C_3$ - takimi punktami krawędzi $|OC_1|$ , że płaszczyzny $|A_1B_1C_1|$ , $|A_2B_2C_2|$ , $|A_3B_3C_3|$ są równoległe. Oznaczmy przez $V_i$ ( $i=1,2,3$ ) objętość czworościanu $|OA_iB_iC_i|$ , a przez $V$ objętość czworościanu $|OA_1B_2C_3|$ . Udowodnić, że $V_1 + V_2 + V_3 \geq 3V$ .