Olimpiada Matematyczna

VII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt ze środkami okręgów dopisanych leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie.

W kwadracie $ABCD$ o polu $S$ połączono wierzchołek $A$ ze środkiem boku $BG$ , wierzchołek $B$ ze środkiem boku $CD$ , wierzchołek $C$ ze środkiem boku $DA$ i wierzchołek $D$ ze środkiem boku $AB$ . Obliczyć pole tej części kwadratu, w której leży jego środek.

VII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi, to liczba

$ N = ab (a^2 - b^2) (a^2 + b^2) $

jest podzielna przez $30$ .

VII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{c} (x^3+y^3)(x^2+y^2)=2a^5\\ x+y=a \end{array} $

VIII OM - III - Zadanie 6

Dany jest sześcian o podstawie $ABCD$ , przy czym $AB = a$ cm. Obliczyć odległość prostej $BC$ od prostej przechodzącej przez punkt $A$ i przez środek $S$ ściany przeciwległej do podstawy.

VIII OM - III - Zadanie 5

Dana jest prosta $m$ i odcinek $AB$ do niej równoległy. Podzielić odcinek $AB$ na trzy równe części przy użyciu samej linijki, tzn. rysując tylko proste.

VIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $a \geq 0$ i $b \geq 0$ , to

$ (1) \qquad \sqrt{a^2 + b^2} \geq a + b - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{ab}. $

VIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ax^2 + bx + c$ przybiera wartość całkowitą dla każdej całkowitej wartości zmiennej $x$ , to $2a$ , $a + b$ , $c$ są liczbami całkowitymi i na odwrót.

VIII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że między bokami $a$ , $b$ , $c$ i kątami przeciwległymi $A$ , $B$ , $C$ trójkąta zachodzi związek

$ (1) \qquad a^2 \cos^2 A = b^2 \cos^2 B + c^2 \cos^2 C + 2bc \cos B \cos C \cos 2A. $

VIII OM - III - Zadanie 1

Przez środek $S$ odcinka $MN$ o końcach leżących na ramionach trójkąta równoramiennego poprowadzono prostą równoległą do podstawy trójkąta przecinającą jego ramiona w punktach $K$ i $L$ . Dowieść, że rzut prostokątny odcinka $MN$ na podstawę trójkąta jest równy odcinkowi $KL$ .

Olimpiady Matematyczne