1990-1999

XLVI OM - I - Zadanie 3

Czworokąt o bokach $a$ , $b$ , $e$ , $d$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R$ . Wykazać, że jeżeli $a^2 + b^2 + c^2 + d^2= 8R^2$ , to w czworokącie tym jeden z kątów jest prosty lub przekątne są prostopadłe.

XLVI OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie pary $(x,y)$ liczb naturalnych, dla których liczby $\frac{x+1}{y}$ oraz $\frac{y+1}{x}$ są naturalne.

XLVII OM - III - Zadanie 6

Spośród wszystkich permutacji $f$ zbioru $\{1,2, \ldots , n\}$ spełniających warunek

$ f(i) \geq i-1 \quad \text{ dla } i=1, 2, \ldots, n $

wybieramy jedną (każdy wybór jest jednakowo prawdopodobny). Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwemtego, że wybrana permutacja spełnia warunek

$ f(i) \leq i+1 \quad \text{ dla } i=1, 2, \ldots, n $

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których $p_n > \frac{1}{3}$ .

XLVII OM - III - Zadanie 5

Dla liczby naturalnej $k \geq 1$ oznaczmy przez $p(k)$ najmniejszą liczbę pierwszą, która nie jest dzielnikiem liczby $k$ . Jeśli $p(k) > 2$ , to przyjmujemy, że $q(k)$ jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od $p(k)$ ; gdy zaś $p(k) = 2$ , to przyjmujemy $q(k) = 1$ . Określamy ciąg $(x_n)$ wzorami:

$ x_0 = 1, \quad x_{n+1} = \frac{x_n p(x_n)}{q(x_n)} \text{ dla } n = 0,1,2,\ldots . $

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których zachodzi równość $x_n = 111111$ .

XLVII OM - III - Zadanie 4

W czworościanie $ABCD$ zachodzą następujące równości:

$ |\measuredangle BAC| = |\measuredangle ACD| \quad \text{oraz} \quad |\measuredangle ABD| = |\measuredangle BDC|. $

Dowieść, że krawędzie $AB$ i $CD$ mają jednakową długość.

XLVII OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ oraz liczby dodatnie $a_l, a_2, \ldots , a_n$ , których suma równa się 1.

(a) Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $x_l, x_2, \ldots , x_n$ o sumie równej 1 zachodzi nierówność

$ \2\sum_{i<j} x_ix_j \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i} $

(b) Wyznaczyć wszystkie układy liczb dodatnich $x_l, x_2, \ldots , x_n$ o sumie równej 1 dla których powyższa nierówność staje się równością.

Uwaga: Symbol $\sum_{i<j} x_ix_j$ oznacza sumę $\binom{n}{2}$ składników odpowiadających wszystkim parom wskaźników $i,j$ ze zbioru $\{1,2, \ldots ,n\}$ spełniającym warunek $i < j$ .

XLVII OM - III - Zadanie 2

Wewnątrz danego trójkąta $ABC$ wybrano punkt $P$ spełniający warunki: $|\measuredangle PBC|=|\measuredangle PCA| < |\measuredangle PAB|$ . Prosta $BP$ przecina okrąg opisany na trójkącie $ABC$ w punktach $B$ i $E$ . Okrąg opisany na trójkącie $APE$ przecina prostą $CE$ w punktach $E$ i $F$ . Udowodnić, że punkty $A$ , $P$ , $E$ , $F$ są kolejnymi wierzchołkami czworokąta oraz że stosunek pola czworokąta $APEF$ do pola trójkąta $ABP$ nie zależy od wyboru punktu $P$ .