Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

LVIII OM - I - Zadanie 5

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $, w którym $ \angle ACB=45^\circ $. Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, punkt $ H $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $. Prosta przechodząca przez punkt $ O $ i prostopadła do prostej $ CO $ przecina proste $ AC $ i $ BC $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Wykazać, że

\[<br /> OK+KH=OL+LH\,.<br /> \]

LVIII OM - I - Zadanie 4

Dla każdej liczby naturalnej $ n\ge 3 $ wyznaczyć liczbę ciągów $ (c_1,c_2,\ldots,c_n) $, gdzie $ {c_i\in\{0,1,\ldots,9\}} $, o następującej własności:\break w każdej trójce kolejnych wyrazów są co najmniej dwa wyrazy równe.

LVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ ABCD $, nie będącym równoległobokiem, zachodzi równość $ AB=CD $. Punkty $ M $ i $ N $ są odpowiednio środkami przekątnych $ AC $ i $ BD $. Dowieść, że rzuty prostokątne odcinków $ AB $ i $ CD $ na prostą $ MN $ są odcinkami o jednakowej długości, równej długości odcinka $ MN $.

LVIII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $ k $, $ m $, dla których każda z liczb $ {k^2+4m} $, $ {m^2+5k} $ jest kwadratem liczby całkowitej.

LVIII OM - I - Zadanie 1

Zadanie 1.

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $ x $, $ y $, $ z $ układ równań

\[<br /> \begin{cases}<br /> x^2+2yz+5x=2 \\<br /> y^2+2zx+5y=2 \\<br /> z^2+2xy+5z=2 \\<br /> \end{cases}<br /> \]

I OM - B - Zadanie 12

Ile boków ma wielokąt, którego każdy kąt jest $ k $ razy większy od kąta przyległego ? Jakie wartości może przybierać $ k $ ?

I OM - B - Zadanie 11

Słup pionowy o wysokości $ a $, oświetlony promieniami
słonecznymi, rzucił na płaszczyznę; poziomą w pewnym momencie
cień, długości $ a $, w innym momencie cień miał długość $ 2 a $, w trzecim
momencie długość cienia wynosila $ 3 a $. Wykazać, że suma kątów
nachylenia promieni słonecznych do płaszczyzny poziomej w tych
trzech momentach jest równa kątowi prostemu.

I OM - B - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli suma trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3, to suma sześcianów tych liczb jest
także podzielna przez 3.

I OM - B - Zadanie 8

Dowieść, że wysokości trójkąta ostrokątnego są dwusiecznymi kątów trójkąta, którego wierzchołkami są spodki tych wysokości.

Subskrybuje zawartość