Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

IX CPS - Zadanie 2

Niech $ a,k $ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Ciąg $ (a_n)_{n=1}^\infty $ definiujemy następująco:

\[<br /> a_1=a\quad\text{oraz}\quad a_{n+1}=a_n+k\varrho(a_n),\quad\text{dla }n=1,2,\dots,<br /> \]

gdzie $ \varrho(m) $ oznacza iloczyn cyfr liczby $ m $ w zapisie dziesiętnym (np. $ \varrho(413)=12 $, $ \varrho(308)=0 $). Udowodnić, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $ a $ i $ k $, że ciąg $ (a_n)_{n=1}^\infty $ przyjmuje dokładnie 2009 różnych wartości.

IX CPS - Zadanie 1

Niech $ \mathbb R_+ $ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Znaleźć wszystkie funkcje $ f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+ $, spełniające dla dowolnych $ x,y\in\mathbb R_+ $ zależność

\[<br /> (1+yf(x))(1-yf(x+y))=1.<br /> \]

IX CPS

Zadania z IX Czesko-Polsko-Słowackich Zawodów Matematycznych

ZałącznikWielkość
IX CPS - Zadania z rozwiązaniami175.22 KB

XLVIII MOM - Zadanie 6

Niech $ n $ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozpatrujemy

\[<br /> S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\,x+y+z>0\}<br /> \]

jako zbiór $ (n+1)^3-1 $ punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Wyznaczyć najmniejszą możliwą liczbę płaszczyzn, których suma zawiera zbiór $ S $, ale nie zawiera punktu $ (0,0,0) $.

XLVIII MOM - Zadanie 5

Niech $ a $ oraz $ b $ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Dowieść, że jeśli liczba $ (4a^2-1)^2 $ jest podzielna przez $ 4ab-1 $, to $ a=b $.

XLVIII MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ dwusieczna kąta $ BCA $ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $ R $ różnym od $ C $, symetralną odcinka $ BC $ w punkcie $ P $ oraz symetralną odcinka $ AC $ w punkcie $ Q $. Punkt $ K $ jest środkiem odcinka $ BC $, a punkt $ L $ jest środkiem odcinka $ AC $. Wykazać, że trójkąty $ RPK $ oraz $ RQL $ mają równe pola.

XLVIII MOM - Zadanie 3

W zawodach matematycznych niektórzy uczestnicy przyjaźnią się. Przyjaźń jest zawsze wzajemna. Grupę uczestników nazwiemy kliką, jeśli każdych dwóch zawodników tej grupy przyjaźni się. (W szczególności, każda grupa złożona z mniej niż dwóch zawodników jest kliką.) Liczbę osób, jaką liczy klika nazwiemy jej rozmiarem.

Wiadomo, że w zawodach tych rozmiar największej kliki jest liczbą parzystą. Dowieść, że uczestników zawodów można rozdzielić do dwóch pokoi tak, aby rozmiar największej kliki w jednym pokoju był równy rozmiarowi największej kliki w drugim pokoju.

XLVIII MOM - Zadanie 2

Rozpatrzmy takich pięć punktów płaszczyzny $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, że czworokąt $ ABCD $ jest równoległobokiem, a na czworokącie wypukłym $ BCED $ można opisać okrąg. Niech $ \ell $ będzie prostą przechodzącą przez punkt $ A $. Przypuśćmy, że prosta $ \ell $ przecina wnętrze odcinka $ DC $ w punkcie $ F $, a prostą $ BC $ w punkcie $ G $. Niech ponadto $ EF=EG=EC $. Udowodnić, że prosta $ \ell $ jest dwusieczną kąta $ DAB $.

XLVIII MOM - Zadanie 1

Dane są liczby rzeczywiste $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_n $. Dla każdego $ i $ ($ 1\le i\le n $) określamy

\[<br /> d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\}<br /> \]

oraz

\[<br /> d=\max\{d_i:1\le i\le n\}.<br /> \]

  1. Dowieść, że dla każdych liczb rzeczywistych $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $ spełniona jest nierówność

    \[<br /> \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge{d\over 2}.\leqno(*)<br /> \]

  2. Wykazać, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $, dla których nierówność $ (*) $ staje się równością.

XLVIII MOM

Zadania z XLVIII Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej

ZałącznikWielkość
XLVIII MOM - Zadania z rozwiązaniami161.93 KB
Subskrybuje zawartość