Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

I MEMO - Zadanie 8

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $ k $, dla których istnieje taka liczba całkowita $ a $, że liczba $ (a+k)^3-a^3 $ jest podzielna przez 2007.

I MEMO - Zadanie 7

Czworościan $ T $ nazwiemy dobrym, jeżeli wszystkie długości jego krawędzi są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, z których jedna jest równa 2, a jedna 3. Oznaczmy przez $ s(T) $ sumę długości krawędzi dobrego czworościanu $ T $.

  1. Znaleźć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite $ n $, dla których istnieje dobry czworościan $ T $ spełniający warunek $ s(T)=n $.

  2. Ile istnieje nieprzystających dobrych czworościanów $ T $, dla których $ s(T)=2007 $ ?

Uwaga: Nie jest konieczne dowodzenie, że rozważane czworościany są niezdegenerowane, tzn. posiadają dodatnią objętość.

I MEMO - Zadanie 6

Niech $ P $ będzie dowolnym zbiorem pięciu różnych punktów płaszczyzny, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Oznaczmy przez $ a(P) $ liczbę trójkątów ostrokątnych, których wierzchołki należą do zbioru $ P $. Wyznaczyć największą możliwą wartość $ a(P) $.

I MEMO - Zadanie 5

Dodatnie liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunki

\[<br /> {1\over 2}\le a,b,c,d\le 2\qquad\hbox{oraz}\qquad abcd=1.<br /> \]

Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia

\[<br /> \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr)<br /> \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr).<br /> \]

I MEMO - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary $ (x,y) $ liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie

\[<br /> x!+y!=x^y\,.<br /> \]

I MEMO - Zadanie 3

Dany jest okrąg $ k $ oraz okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $, $ k_4 $ o środkach odpowiednio $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $, $ O_4 $ leżących na okręgu $ k $. Dla $ i=1,2,3,4 $ okręgi $ k_i $ oraz $ k_{i+1} $ (gdzie $ k_5=k_1 $) przecinają się w punktach $ A_i $ i $ B_i $ w taki sposób, że $ A_i $ leży na okręgu $ k $. Zakładamy, że punkty $ O_1 $, $ A_1 $, $ O_2 $, $ A_2 $, $ O_3 $, $ A_3 $, $ O_4 $, $ A_4 $ leżą w takiej kolejności na okręgu $ k $ i są parami różne. Wykazać, że czworokąt $ B_1B_2B_3B_4 $ jest prostokątem.

I MEMO - Zadanie 2

Rozważamy zbiór $ n $ kul ponumerowanych liczbami $ 1, 2, 3, \ldots, n $. Danych jest $ k>1 $ takich zbiorów kul. Chcemy pokolorować wszystkie kule dwoma kolorami, białym i czarnym, tak aby

  1. kule oznaczone tym samym numerem były tego samego koloru;

  2. dowolny podzbiór $ k+1 $ kul z (niekoniecznie różnymi)
    numerami $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_{k+1} $ spełniającymi
    warunek

    \[<br /> a_1+a_2+\ldots+a_k=a_{k+1}<br /> \]

    musiał zawierać co najmniej jedną kulę każdego koloru.

Dla każdego $ k $ znaleźć największe możliwe $ n $, dla którego istnieje pokolorowanie spełniające powyższe warunki.

I MEMO

Zadania z I Środkowo-Europejskiej Olimpiady Matematycznej
ZałącznikWielkość
I MEMO - Zadania z rozwiązaniami147.6 KB

XVIII ZMPB - Zadanie 20

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $ b<a $ oraz liczba $ a^3+b^3+ab $ jest podzielna przez $ ab(a-b) $. Udowodnić, że $ ab $ jest sześcianem liczby całkowitej.

Subskrybuje zawartość